广西民族大学 2019年数学分析第0题
📝 题目
1．（10 分） $\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos x}{1+\sin ^{2} x} d x$ 。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：观察被积函数结构
被积函数为 $\frac{\cos x}{1+\sin^2 x}$，分子 $\cos x$ 是分母中 $\sin x$ 的导数，适合使用换元积分法。
提示：注意分子与分母中三角函数的关系，$\cos x$ 是 $\sin x$ 的导数。
步骤 2/4
目标：进行换元
令 $t = \sin x$，则 $dt = \cos x \, dx$。当 $x=0$ 时，$t=0$；当 $x=\frac{\pi}{2}$ 时，$t=1$。原积分化为：
$$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos x}{1+\sin^2 x} \, dx = \int_{0}^{1} \frac{1}{1+t^2} \, dt$$
公式：$t = \sin x$, $dt = \cos x \, dx$
提示：换元后要同步更新积分上下限，避免遗漏。
步骤 3/4
目标：计算新积分
计算定积分 $\int_{0}^{1} \frac{1}{1+t^2} \, dt$。根据基本积分公式：
$$\int \frac{1}{1+t^2} \, dt = \arctan t + C$$
代入上下限：
$$\int_{0}^{1} \frac{1}{1+t^2} \, dt = \arctan(1) - \arctan(0) = \frac{\pi}{4} - 0 = \frac{\pi}{4}$$
公式：$\int \frac{1}{1+t^2} \, dt = \arctan t + C$
提示：$\arctan(1) = \frac{\pi}{4}$，$\arctan(0)=0$，注意特殊角的反正切值。
步骤 4/4
目标：得出最终结果
原积分的值为 $\frac{\pi}{4}$。
提示：检查积分上下限和换元过程是否正确，确保结果无误。
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