广西民族大学 2019年数学分析第0题
📝 题目
2．（15 分） $\int_{0}^{1} x f^{\prime \prime}(2 x) d x$ ，其中 $f(0)=1, f(2)=5, f^{\prime}(2)=5$ 。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：变量替换简化积分
令 \( t = 2x \)，则 \( x = \frac{t}{2} \)，\( dx = \frac{dt}{2} \)。当 \( x = 0 \) 时 \( t = 0 \)，当 \( x = 1 \) 时 \( t = 2 \)。代入原积分得：
\[
\int_{0}^{1} x f''(2x) \, dx = \int_{0}^{2} \frac{t}{2} f''(t) \cdot \frac{dt}{2} = \frac{1}{4} \int_{0}^{2} t f''(t) \, dt
\]
公式：t = 2x, \quad dx = \frac{dt}{2}
提示：注意变量替换时积分限也要相应改变，且不要漏掉系数 \(\frac{1}{4}\)。
步骤 2/4
目标：应用分部积分法
对 \(\int_{0}^{2} t f''(t) \, dt\) 使用分部积分。令 \( u = t \)，\( dv = f''(t) \, dt \)，则 \( du = dt \)，\( v = f'(t) \)。由分部积分公式：
\[
\int_{0}^{2} t f''(t) \, dt = \left[ t f'(t) \right]_{0}^{2} - \int_{0}^{2} f'(t) \, dt
\]
公式：\int u \, dv = uv - \int v \, du
提示：分部积分时正确选择 \(u\) 和 \(dv\)，此处 \(t\) 求导后变简单，\(f''(t)\) 积分后为 \(f'(t)\)。
步骤 3/4
目标：计算边界项和积分项
计算边界项：\(\left[ t f'(t) \right]_{0}^{2} = 2 \cdot f'(2) - 0 \cdot f'(0) = 2 \times 5 = 10\)。
计算积分项：\(\int_{0}^{2} f'(t) \, dt = f(2) - f(0) = 5 - 1 = 4\)。
因此：
\[
\int_{0}^{2} t f''(t) \, dt = 10 - 4 = 6
\]
公式：\int_{a}^{b} f'(t) \, dt = f(b) - f(a)
提示：注意 \(f'(0)\) 未知但边界项中 \(t=0\) 时乘积为0，无需知道具体值。
步骤 4/4
目标：回代得到原积分值
将上一步结果代入：
\[
\frac{1}{4} \int_{0}^{2} t f''(t) \, dt = \frac{1}{4} \times 6 = \frac{3}{2}
\]
公式：\frac{1}{4} \times 6 = \frac{3}{2}
提示：最终结果化简为最简分数形式。
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