广西民族大学 2019年数学分析第0题
📝 题目
八、（15 分）计算 $\displaystyle \iint_{S} x^{2} d y d z+y^{2} d z d x+z^{2} d x d y$ ，其中 $S$ 为球面 $\displaystyle (x-a)^{2}+(y-b)^{2}+(z-c)^{2}=R^{2}$ ，并取外侧为正。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：明确题目条件与曲面积分形式
给定曲面 $S$ 为球面 $(x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2=R^2$，取外侧为正。需要计算曲面积分 $\displaystyle \iint_{S} x^{2} d y d z+y^{2} d z d x+z^{2} d x d y$。
公式：曲面积分表达式：$\iint_S P\,dy\,dz + Q\,dz\,dx + R\,dx\,dy$，其中 $P=x^2,\,Q=y^2,\,R=z^2$。
提示：注意第二类曲面积分的方向性，这里取外侧为正方向。
步骤 2/5
目标：应用高斯公式转化为三重积分
高斯公式：对于封闭曲面外侧，有 $\iint_S P\,dy\,dz+Q\,dz\,dx+R\,dx\,dy = \iiint_V \left(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}\right) dV$。计算散度：$\frac{\partial P}{\partial x}=2x,\ \frac{\partial Q}{\partial y}=2y,\ \frac{\partial R}{\partial z}=2z$，故散度为 $2(x+y+z)$。因此 $I = \iiint_V 2(x+y+z)\,dV$，其中 $V$ 为球体 $(x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2 \le R^2$。
公式：$\iint_S x^2\,dy\,dz+y^2\,dz\,dx+z^2\,dx\,dy = \iiint_V 2(x+y+z)\,dV$
提示：高斯公式要求曲面封闭且取外侧，本题满足条件。注意散度计算要准确。
步骤 3/5
目标：变量替换简化积分区域
令 $u=x-a,\ v=y-b,\ w=z-c$，则积分区域变为球体 $u^2+v^2+w^2 \le R^2$，且 $x+y+z = (u+a)+(v+b)+(w+c) = (u+v+w)+(a+b+c)$。于是 $I = 2 \iiint_{u^2+v^2+w^2 \le R^2} [u+v+w+(a+b+c)]\,du\,dv\,dw$。
公式：$I = 2\iiint_{u^2+v^2+w^2\le R^2} (u+v+w+a+b+c)\,du\,dv\,dw$
提示：变量替换时注意雅可比行列式为1，积分区域对称性将用于后续简化。
步骤 4/5
目标：利用对称性计算三重积分
由于球体关于原点对称，奇函数 $u,\ v,\ w$ 在球上的积分均为0，即 $\iiint u\,dV = \iiint v\,dV = \iiint w\,dV = 0$。因此只剩下常数项：$I = 2(a+b+c) \iiint_{u^2+v^2+w^2\le R^2} du\,dv\,dw$。球的体积为 $\frac{4}{3}\pi R^3$，故 $I = 2(a+b+c) \cdot \frac{4}{3}\pi R^3 = \frac{8\pi R^3}{3}(a+b+c)$。
公式：$\iiint_{u^2+v^2+w^2\le R^2} du\,dv\,dw = \frac{4}{3}\pi R^3$
提示：对称性简化积分时，注意被积函数中奇函数部分积分为0，常数部分直接乘以体积。
步骤 5/5
目标：得出最终答案
因此原曲面积分的结果为 $\displaystyle \frac{8\pi R^3}{3}(a+b+c)$。
公式：$\boxed{\dfrac{8\pi R^3}{3}(a+b+c)}$
提示：最终答案应包含球心坐标和半径，注意检查符号和系数。
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