广西民族大学 2019年数学分析第0题
📝 题目
六、（15 分）设 $\displaystyle f(x)$ 为 $\displaystyle [a,+\infty)$ 上一致连续，$\displaystyle g(x)$ 为 $\displaystyle [a,+\infty)$ 上连续， $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0}(f(x)-g(x))=0$ ，证明 $\displaystyle g(x)$ 为 $\displaystyle [a,+\infty)$ 上一致连续。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：利用极限条件，将无穷远处f与g的差值控制住
因为 $\lim_{x \to +\infty} (f(x)-g(x)) = 0$，对任意给定的 $\varepsilon > 0$，存在 $M > a$，使得当 $x > M$ 时，有 $|f(x)-g(x)| < \frac{\varepsilon}{3}$。
公式：$\forall \varepsilon>0,\exists M>a,\forall x>M: |f(x)-g(x)|<\frac{\varepsilon}{3}$
提示：注意极限变量是 $x \to +\infty$，不是 $x \to 0$，这是题目中常见的笔误。
步骤 2/5
目标：利用f的一致连续性，得到f的差值控制
由于 $f$ 在 $[a,+\infty)$ 上一致连续，对于上述 $\varepsilon$，存在 $\delta_1 > 0$，使得对任意 $x_1,x_2 \in [a,+\infty)$，只要 $|x_1-x_2|<\delta_1$，就有 $|f(x_1)-f(x_2)| < \frac{\varepsilon}{3}$。
公式：$\exists \delta_1>0,\forall x_1,x_2\in[a,+\infty), |x_1-x_2|<\delta_1 \Rightarrow |f(x_1)-f(x_2)|<\frac{\varepsilon}{3}$
提示：一致连续定义中的 $\delta$ 只依赖于 $\varepsilon$，不依赖于点的位置。
步骤 3/5
目标：在有限闭区间上利用连续函数的一致连续性处理g
考虑闭区间 $[a, M+1]$，$g$ 在此区间上连续，因此一致连续。于是存在 $\delta_2 > 0$，使得对任意 $x_1,x_2 \in [a, M+1]$，只要 $|x_1-x_2|<\delta_2$，就有 $|g(x_1)-g(x_2)| < \varepsilon$。
公式：$\exists \delta_2>0,\forall x_1,x_2\in[a,M+1], |x_1-x_2|<\delta_2 \Rightarrow |g(x_1)-g(x_2)|<\varepsilon$
提示：闭区间上的连续函数一定一致连续，这是有限区间处理的关键。
步骤 4/5
目标：构造全局的δ并分情况讨论
取 $\delta = \min(\delta_1, \delta_2, 1)$。任取 $x_1,x_2 \in [a,+\infty)$ 满足 $|x_1-x_2|<\delta$，分三种情况：
**情况一**：$x_1,x_2 \in [a, M+1]$，由第3步直接得 $|g(x_1)-g(x_2)|<\varepsilon$。
**情况二**：$x_1,x_2 > M$，则
$$
|g(x_1)-g(x_2)| \le |g(x_1)-f(x_1)| + |f(x_1)-f(x_2)| + |f(x_2)-g(x_2)| < \frac{\varepsilon}{3}+\frac{\varepsilon}{3}+\frac{\varepsilon}{3} = \varepsilon.
$$
**情况三**：一个点 $\le M$，另一个点 $> M$。由于 $\delta \le 1$，且两点距离小于1，则另一点必 $\le M+1$，因此两点都在 $[a, M+1]$ 内，归入情况一。
公式：$\delta = \min(\delta_1,\delta_2,1)$，三角不等式 $|g(x_1)-g(x_2)| \le |g(x_1)-f(x_1)|+|f(x_1)-f(x_2)|+|f(x_2)-g(x_2)|$
提示：取 $\delta \le 1$ 是为了保证情况三中两点不会跨过 $M+1$ 的边界，从而落入有限区间。
步骤 5/5
目标：总结并得出结论
由以上三种情况，对任意 $\varepsilon>0$，存在 $\delta>0$，使得对任意 $x_1,x_2\in[a,+\infty)$，只要 $|x_1-x_2|<\delta$，就有 $|g(x_1)-g(x_2)|<\varepsilon$。因此 $g(x)$ 在 $[a,+\infty)$ 上一致连续。
公式：一致连续的定义：$\forall \varepsilon>0,\exists \delta>0,\forall x_1,x_2\in[a,+\infty),|x_1-x_2|<\delta \Rightarrow |g(x_1)-g(x_2)|<\varepsilon$
提示：证明的关键是将无穷远处转化为f的差值，有限区间利用闭区间上连续必一致连续的性质。
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