广西民族大学 2019年数学分析第0题
📝 题目
四、（15 分）求两个椭圆 $\displaystyle \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ 与 $\displaystyle \frac{x^{2}}{b^{2}}+\frac{y^{2}}{a^{2}}=1 \quad(a>0, b>0)$ 所围公共部分面积。
1．（10 分） $\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos x}{1+\sin ^{2} x} d x$ 。
2．（15 分） $\displaystyle \int_{0}^{1} x f^{\prime \prime}(2 x) d x$ ，其中 $\displaystyle f(0)=1, f(2)=5, f^{\prime}(2)=5$ 。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：计算积分 ∫₀^{π/2} cos x / (1 + sin² x) dx
观察到分子是 cos x，分母含有 sin² x，考虑换元。令 t = sin x，则 dt = cos x dx。当 x = 0 时，t = 0；当 x = π/2 时，t = 1。原积分化为 ∫₀¹ 1/(1 + t²) dt。
公式：t = sin x, dt = cos x dx
提示：注意换元后积分限的变化，以及分母 1 + sin² x 变为 1 + t² 的简单形式。
步骤 2/6
目标：计算换元后的积分 ∫₀¹ 1/(1 + t²) dt
∫₀¹ 1/(1 + t²) dt 是标准积分，其原函数为 arctan t。代入上下限：arctan 1 - arctan 0 = π/4 - 0 = π/4。
公式：∫ 1/(1 + t²) dt = arctan t + C
提示：记住 arctan 1 = π/4，arctan 0 = 0。
步骤 3/6
目标：计算积分 ∫₀¹ x f''(2x) dx，使用分部积分法
令 u = x，dv = f''(2x) dx。先求 v：令 t = 2x，则 dx = dt/2，v = ∫ f''(2x) dx = ∫ f''(t) · (dt/2) = (1/2) f'(t) = (1/2) f'(2x)。分部积分公式：∫ u dv = uv - ∫ v du。
公式：分部积分公式：∫ u dv = uv - ∫ v du
提示：注意 dv 的积分需要小心处理，通过换元得到 v 的表达式。
步骤 4/6
目标：计算分部积分后的边界项和剩余积分
边界项：[x · (1/2) f'(2x)]₀¹ = (1/2) · 1 · f'(2) - 0 = (1/2) · 5 = 5/2。剩余积分：- ∫₀¹ (1/2) f'(2x) dx = - (1/2) ∫₀¹ f'(2x) dx。
公式：边界项计算：代入 x=1 和 x=0
提示：注意 f'(2) = 5 是已知条件，不要遗漏。
步骤 5/6
目标：计算 ∫₀¹ f'(2x) dx，通过换元法
令 t = 2x，则 dx = dt/2，积分限从 0 到 2。∫₀¹ f'(2x) dx = ∫₀² f'(t) · (dt/2) = (1/2) [f(t)]₀² = (1/2)(f(2) - f(0)) = (1/2)(5 - 1) = 2。
公式：t = 2x, dx = dt/2
提示：注意 f(0)=1, f(2)=5 是已知条件，代入时不要出错。
步骤 6/6
目标：合并结果得到最终积分值
剩余积分部分为 - (1/2) × 2 = -1。总结果 = 5/2 - 1 = 3/2。
公式：5/2 - 1 = 3/2
提示：计算时注意分数加减，最终结果化简为最简分数。
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