广西民族大学 2020年数学分析第0题
📝 题目
1．求极限 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{1+x^{n}+\left(\frac{x^{2}}{3}\right)^{n}}$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：识别极限形式并引入常用结论
极限为 $\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{1+x^n+\left(\frac{x^2}{3}\right)^n} = \lim_{n\to\infty}\left(1+x^n+\left(\frac{x^2}{3}\right)^n\right)^{1/n}$。对于非负项 $a_i$，有结论：$\lim_{n\to\infty}(a_1^n+a_2^n+\cdots+a_k^n)^{1/n} = \max\{a_1,a_2,\ldots,a_k\}$，即最大值项主导。
公式：\lim_{n\to\infty}\left(\sum_{i=1}^k a_i^n\right)^{1/n} = \max\{a_1,\ldots,a_k\}
提示：该结论要求所有底数非负，且 $n$ 为自然数。
步骤 2/5
目标：提取各项底数并明确参数范围
将三项分别视为 $1^n$（底数为 $1$）、$x^n$（底数为 $|x|$，但为保证根号内非负，通常假设 $x\ge 0$）、$\left(\frac{x^2}{3}\right)^n$（底数为 $\frac{x^2}{3}$）。因此三个底数为 $1,\; x,\; \frac{x^2}{3}$。
公式：\text{底数集合: }\{1,\; x,\; \frac{x^2}{3}\}
提示：若 $x<0$，$x^n$ 在 $n$ 为偶数时为正，奇数时为负，可能导致根号内非正，故通常限制 $x\ge 0$。
步骤 3/5
目标：分区间比较底数大小
比较三个底数的大小关系：
- 当 $0\le x\le 1$ 时，$x\le 1$，且 $\frac{x^2}{3}\le \frac{1}{3}<1$，最大值为 $1$。
- 当 $11$，且 $\frac{x^2}{3}\le 1$，最大值为 $x$。
- 当 $\sqrt{3}1$，但 $x-\frac{x^2}{3}=x(1-\frac{x}{3})>0$，故 $x>\frac{x^2}{3}$，最大值仍为 $x$。
- 当 $x>3$ 时，$\frac{x^2}{3}>x>1$，最大值为 $\frac{x^2}{3}$。
公式：\text{比较: } x \text{ vs } \frac{x^2}{3} \Rightarrow x(1-\frac{x}{3})
提示：注意 $\sqrt{3}\approx 1.732$，$3$ 是 $x$ 与 $x^2/3$ 相等的临界点。
步骤 4/5
目标：根据最大值写出极限表达式
由最大值主导原理，极限等于各区间内的最大底数：
- $0\le x\le 1$：极限 $=1$。
- $13$：极限 $=\frac{x^2}{3}$。
公式：\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{1+x^n+\left(\frac{x^2}{3}\right)^n} = \begin{cases} 1, & 0\le x\le 1 \\ x, & 13 \end{cases}
提示：注意 $x=1$ 和 $x=3$ 是边界点，代入验证均符合。
步骤 5/5
目标：验证边界点并总结
当 $x=1$ 时，三项为 $1,1,(1/3)^n$，极限为 $1$，与分段一致；当 $x=3$ 时，三项为 $1,3^n,3^n$，极限为 $3$，与 $x=3$ 代入 $x$ 得 $3$ 一致。因此分段结果正确。
公式：\text{验证: } x=1 \Rightarrow 1;\; x=3 \Rightarrow 3
提示：边界点可归入相邻区间，通常取闭区间。
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