广西民族大学 2020年数学分析第0题
📝 题目
2．计算曲面积分 $\displaystyle I=\iint_{S} \frac{d S}{z}, \mathrm{~S}$ 为球面 $x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2}$ 被平面 $z=h(0<h<a)$ 所截的顶部．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：明确积分区域
球面方程为 \(x^2 + y^2 + z^2 = a^2\)，被平面 \(z = h\)（其中 \(0 < h < a\)）截取顶部球冠。该球冠上 \(z\) 的取值范围为 \(h \leq z \leq a\)，在 \(xy\) 平面上的投影区域为圆盘 \(x^2 + y^2 \leq a^2 - h^2\)。
公式：投影圆盘半径 \(R = \sqrt{a^2 - h^2}\)
提示：注意 \(h>0\) 且小于 \(a\)，确保顶部球冠存在且 \(z\) 不为零。
步骤 2/5
目标：将曲面显式化并计算面积元
将上半球面表示为 \(z = \sqrt{a^2 - x^2 - y^2}\)。计算偏导数：
\[
\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{-x}{\sqrt{a^2 - x^2 - y^2}}, \quad \frac{\partial z}{\partial y} = \frac{-y}{\sqrt{a^2 - x^2 - y^2}}
\]
则曲面面积元为：
\[
dS = \sqrt{1 + \left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)^2 + \left(\frac{\partial z}{\partial y}\right)^2} \, dx\, dy = \frac{a}{\sqrt{a^2 - x^2 - y^2}} \, dx\, dy
\]
公式：dS = \frac{a}{\sqrt{a^2 - x^2 - y^2}} \, dx\, dy
提示：推导面积元时注意根号内化简，最终结果与 \(a\) 有关。
步骤 3/5
目标：将被积函数与面积元结合，转化为二重积分
被积函数 \(\frac{1}{z} = \frac{1}{\sqrt{a^2 - x^2 - y^2}}\)，因此：
\[
\frac{1}{z} \, dS = \frac{1}{\sqrt{a^2 - x^2 - y^2}} \cdot \frac{a}{\sqrt{a^2 - x^2 - y^2}} \, dx\, dy = \frac{a}{a^2 - x^2 - y^2} \, dx\, dy
\]
积分区域为 \(x^2 + y^2 \leq a^2 - h^2\)。
公式：\iint_S \frac{dS}{z} = \iint_{x^2+y^2 \leq a^2-h^2} \frac{a}{a^2 - x^2 - y^2} \, dx\, dy
提示：注意被积函数在投影区域内分母不为零，因为 \(r^2 \leq a^2 - h^2 < a^2\)。
步骤 4/5
目标：使用极坐标计算二重积分
令 \(x = r\cos\theta, y = r\sin\theta\)，则 \(dx\,dy = r\,dr\,d\theta\)，积分区域 \(0 \leq r \leq \sqrt{a^2 - h^2}, 0 \leq \theta \leq 2\pi\)。积分化为：
\[
I = \int_0^{2\pi} d\theta \int_0^{\sqrt{a^2 - h^2}} \frac{a}{a^2 - r^2} \, r\, dr
\]
先计算内层积分：
\[
\int_0^{\sqrt{a^2 - h^2}} \frac{a r}{a^2 - r^2} \, dr
\]
令 \(u = a^2 - r^2\)，则 \(du = -2r\, dr\)，即 \(r\, dr = -\frac{1}{2} du\)。换元后积分限：\(r=0\) 时 \(u=a^2\)，\(r=\sqrt{a^2-h^2}\) 时 \(u=h^2\)。于是：
\[
\int_0^{\sqrt{a^2 - h^2}} \frac{a r}{a^2 - r^2} \, dr = a \int_{a^2}^{h^2} \frac{1}{u} \left(-\frac{1}{2}\right) du = \frac{a}{2} \int_{h^2}^{a^2} \frac{du}{u} = \frac{a}{2} \left[ \ln u \right]_{h^2}^{a^2} = \frac{a}{2} (\ln a^2 - \ln h^2) = a \ln \frac{a}{h}
\]
公式：\int_0^{\sqrt{a^2-h^2}} \frac{a r}{a^2 - r^2} \, dr = a \ln \frac{a}{h}
提示：换元时注意积分限的变化和符号处理，最终结果化简时利用 \(\ln a^2 = 2\ln a\)。
步骤 5/5
目标：乘以角度积分得到最终结果
角度部分积分为 \(\int_0^{2\pi} d\theta = 2\pi\)，因此：
\[
I = 2\pi \cdot a \ln \frac{a}{h}
\]
公式：I = 2\pi a \ln \frac{a}{h}
提示：最终结果中 \(a\) 和 \(h\) 均为正数，对数有意义。
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