广西民族大学 2020年数学分析第0题
📝 题目
3．计算 $\int_{L} x d y+y d x$ ，其中 $L:$ 沿抛物线 $y=2 x^{2}$ 从 $(0,0)$ 到 $(1,2)$ ．
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：明确曲线参数化方式
曲线 $L$ 为抛物线 $y = 2x^2$，起点 $(0,0)$，终点 $(1,2)$。由于 $y$ 是 $x$ 的函数，且 $x$ 从 $0$ 到 $1$，我们选择 $x$ 作为参数，即参数化表示为：$x = x$，$y = 2x^2$，其中 $x \in [0,1]$。
公式：$y = 2x^2$，$x \in [0,1]$
提示：注意参数化时需确保曲线方向与积分路径一致，这里 $x$ 从 $0$ 到 $1$ 对应从起点到终点。
步骤 2/5
目标：计算微分 $dy$
对 $y = 2x^2$ 关于 $x$ 求导，得到 $dy = 4x \, dx$。
公式：$dy = 4x \, dx$
提示：求微分时不要漏掉 $dx$，这是将曲线积分化为定积分的关键步骤。
步骤 3/5
目标：将曲线积分转化为定积分
原积分为 $\int_L x \, dy + y \, dx$。代入 $y = 2x^2$ 和 $dy = 4x \, dx$，并将积分限 $x$ 从 $0$ 到 $1$ 代入：
$$
\int_L x \, dy + y \, dx = \int_{x=0}^{1} \left[ x \cdot (4x \, dx) + (2x^2) \, dx \right]
$$
化简括号内：$4x^2 + 2x^2 = 6x^2$，所以积分化为：
$$
\int_0^1 6x^2 \, dx
$$
公式：$\int_0^1 6x^2 \, dx$
提示：注意 $x \, dy$ 中 $dy$ 替换为 $4x \, dx$，$y \, dx$ 中 $y$ 替换为 $2x^2$，不要混淆。
步骤 4/5
目标：计算定积分
计算 $\int_0^1 6x^2 \, dx$：
$$
\int_0^1 6x^2 \, dx = 6 \cdot \left[ \frac{x^3}{3} \right]_0^1 = 6 \cdot \frac{1}{3} = 2
$$
公式：$\int_0^1 6x^2 \, dx = 2$
提示：定积分计算时注意代入上下限，$0$ 的立方为 $0$，结果简单。
步骤 5/5
目标：得出最终结果
因此，曲线积分 $\int_L x \, dy + y \, dx$ 的值为 $2$。
公式：$\boxed{2}$
提示：检查积分路径方向是否正确，若方向相反结果会变号。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。