广西民族大学 2020年数学分析第0题
📝 题目
4．计算 $\iint_{D}(x+y) d x d y$ ，积分区域 $D=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2} \leq x+y\right\}$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：化简积分区域D的方程
将不等式 $x^2 + y^2 \le x + y$ 移项并配方：
对于 $x$ 部分：$x^2 - x = \left(x - \frac12\right)^2 - \frac14$
对于 $y$ 部分：$y^2 - y = \left(y - \frac12\right)^2 - \frac14$
相加得：$x^2 + y^2 - x - y = \left(x - \frac12\right)^2 + \left(y - \frac12\right)^2 - \frac12 \le 0$
因此 $\left(x - \frac12\right)^2 + \left(y - \frac12\right)^2 \le \frac12$，即区域 $D$ 是一个圆心在 $(\frac12, \frac12)$，半径 $R = \frac{1}{\sqrt{2}}$ 的圆盘。
公式：\left(x - \frac12\right)^2 + \left(y - \frac12\right)^2 \le \frac12
提示：配方时注意常数项的处理，不要遗漏 $-\frac14$ 和 $-\frac14$ 相加得到 $-\frac12$。
步骤 2/4
目标：进行坐标平移变换
令 $u = x - \frac12$，$v = y - \frac12$，则 $x = u + \frac12$，$y = v + \frac12$。
区域变为 $u^2 + v^2 \le \frac12$。
被积函数变为 $x + y = (u + \frac12) + (v + \frac12) = u + v + 1$。
由于平移变换的雅可比行列式为 $1$，所以原积分化为：
$$\iint_D (x+y)\,dx\,dy = \iint_{u^2+v^2 \le 1/2} (u+v+1)\,du\,dv.$$
公式：\iint_{u^2+v^2 \le 1/2} (u+v+1)\,du\,dv
提示：平移变换不改变面积元，雅可比行列式为1，直接代入即可。
步骤 3/4
目标：利用对称性简化积分
积分区域 $u^2+v^2 \le \frac12$ 是关于 $u$ 轴和 $v$ 轴对称的圆盘。
函数 $u$ 和 $v$ 在对称区域上分别是奇函数，因此：
$$\iint_{u^2+v^2\le 1/2} u\,du\,dv = 0, \quad \iint_{u^2+v^2\le 1/2} v\,du\,dv = 0.$$
于是积分只剩下常数项 $1$ 的积分：
$$\iint_{u^2+v^2\le 1/2} 1\,du\,dv = \text{圆的面积} = \pi \cdot \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2 = \frac{\pi}{2}.$$
公式：\iint_{u^2+v^2\le 1/2} 1\,du\,dv = \frac{\pi}{2}
提示：奇函数在对称区域上的积分为零，这是简化计算的关键。注意圆盘面积公式 $\pi R^2$。
步骤 4/4
目标：得出最终结果
综合以上步骤，原二重积分的值为：
$$\iint_D (x+y)\,dx\,dy = \frac{\pi}{2}.$$
公式：\boxed{\frac{\pi}{2}}
提示：最终结果是一个简洁的常数，检查时注意积分区域半径是否正确。
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