广西民族大学 2020年数学分析第0题
📝 题目
2．$f_{1}(x)$ 在 $[a, b]$ 可积，$f_{n+1}(x)=\int_{a}^{x} f_{n}(t) d t$ 。证明：$f_{n}(x)$ 在 $[a, b]$ 一致收玫于 0 ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：明确要证明的目标
要证明函数列 $\{f_n(x)\}$ 在 $[a,b]$ 上一致收敛于 $0$，即：对任意 $\varepsilon > 0$，存在正整数 $N$，使得当 $n > N$ 时，对所有 $x \in [a,b]$ 都有 $|f_n(x)| < \varepsilon$。
公式：$\forall \varepsilon>0,\exists N\in\mathbb{N},\forall n>N,\forall x\in[a,b]:|f_n(x)|<\varepsilon$
提示：一致收敛要求上界与 $x$ 无关，因此需要找到一个与 $x$ 无关的、趋于 $0$ 的公共上界。
步骤 2/5
目标：建立 $f_1$ 的有界性
由于 $f_1$ 在闭区间 $[a,b]$ 上黎曼可积，则 $f_1$ 在 $[a,b]$ 上有界。设 $M = \sup_{x\in[a,b]}|f_1(x)|$，则 $|f_1(x)| \le M$ 对所有 $x\in[a,b]$ 成立。
公式：$|f_1(x)| \le M$
提示：黎曼可积的必要条件是有界，因此 $M$ 是有限数。
步骤 3/5
目标：递推估计 $f_2$ 和 $f_3$ 的上界
由递推定义：$f_2(x)=\int_a^x f_1(t)dt$，故 $|f_2(x)| \le \int_a^x |f_1(t)|dt \le M(x-a)$。
$f_3(x)=\int_a^x f_2(t)dt$，故 $|f_3(x)| \le \int_a^x M(t-a)dt = M\frac{(x-a)^2}{2}$。
公式：$|f_2(x)| \le M(x-a)$，$|f_3(x)| \le M\frac{(x-a)^2}{2}$
提示：注意积分上限 $x$ 是变量，但 $x-a \le b-a$。
步骤 4/5
目标：用数学归纳法得到一般上界估计
假设 $|f_k(x)| \le M\frac{(x-a)^{k-1}}{(k-1)!}$，则
$$|f_{k+1}(x)| \le \int_a^x M\frac{(t-a)^{k-1}}{(k-1)!}dt = M\frac{(x-a)^k}{k!}.$$
由数学归纳法，对所有 $n\ge 1$ 有
$$|f_n(x)| \le M\frac{(x-a)^{n-1}}{(n-1)!} \le M\frac{(b-a)^{n-1}}{(n-1)!}.$$
公式：$|f_n(x)| \le M\frac{(b-a)^{n-1}}{(n-1)!}$
提示：归纳步骤中注意积分变量 $t$ 的范围是 $[a,x]$，因此 $(t-a)^{k-1} \le (x-a)^{k-1}$。
步骤 5/5
目标：证明上界趋于零，从而得到一致收敛
上界 $M\frac{(b-a)^{n-1}}{(n-1)!}$ 与 $x$ 无关，且由于阶乘增长快于指数增长，当 $n\to\infty$ 时该上界趋于 $0$。因此，对任意 $\varepsilon>0$，存在 $N$ 使得 $M\frac{(b-a)^{N-1}}{(N-1)!}<\varepsilon$，则对所有 $n\ge N$ 和所有 $x\in[a,b]$，有 $|f_n(x)|<\varepsilon$。这就证明了一致收敛于 $0$。
公式：$\lim_{n\to\infty}M\frac{(b-a)^{n-1}}{(n-1)!}=0$
提示：当 $b=a$ 或 $M=0$ 时结论平凡成立，无需额外处理。
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