广西民族大学 2020年数学分析第0题
📝 题目
1．（i）设 $f(x)$ 在开区间 $(a, b)$ 可微，且 $f^{\prime}(x)$ 在 $(a, b)$ 有界．证明 $f(x)$ 在 $(a, b)$ 一致连续．
（ii）设 $f(x)$ 在开区间 $(a, b)(-\infty<a<b<+\infty)$ 可微且一致连续，试问 $f^{\prime}(x)$ 在 $(a, b)$ 是否一定有界．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：证明导数有界蕴含Lipschitz条件
由于$f'(x)$在$(a,b)$上有界，存在常数$M>0$，使得对任意$x\in(a,b)$，有$|f'(x)|\le M$。对任意$x_1,x_2\in(a,b)$，由拉格朗日中值定理，存在$\xi$介于$x_1$与$x_2$之间，使得$f(x_2)-f(x_1)=f'(\xi)(x_2-x_1)$。因此$|f(x_2)-f(x_1)|=|f'(\xi)||x_2-x_1|\le M|x_2-x_1|$。
公式：|f(x_2)-f(x_1)| \le M|x_2-x_1|
提示：注意拉格朗日中值定理要求函数在闭区间上连续、开区间内可导，这里对任意两点都适用。
步骤 2/4
目标：由Lipschitz条件推出一致连续
由$|f(x_2)-f(x_1)|\le M|x_2-x_1|$，对任意$\varepsilon>0$，取$\delta=\varepsilon/M$，则当$|x_2-x_1|<\delta$时，有$|f(x_2)-f(x_1)|<\varepsilon$。这正是一致连续的定义，故$f(x)$在$(a,b)$上一致连续。
公式：\forall\varepsilon>0,\exists\delta=\varepsilon/M>0,\forall x_1,x_2\in(a,b):|x_1-x_2|<\delta\Rightarrow|f(x_1)-f(x_2)|<\varepsilon
提示：一致连续的$\delta$只依赖于$\varepsilon$，不依赖于点的位置。
步骤 3/4
目标：构造反例说明一致连续不能推出导数有界
考虑区间$(0,1)$，定义函数$f(x)=\sqrt{x}$。该函数在$(0,1)$上可微，导数为$f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}$。当$x\to0^+$时，$f'(x)\to+\infty$，故$f'(x)$在$(0,1)$上无界。但$f(x)=\sqrt{x}$在$(0,1)$上一致连续，因为它在闭区间$[0,1]$上连续，从而一致连续，在子区间$(0,1)$上自然也一致连续。
公式：f(x)=\sqrt{x},\quad f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}
提示：注意闭区间上连续函数必一致连续，这是常用结论。
步骤 4/4
目标：总结结论
（i）导数有界可以推出函数一致连续；（ii）反之不成立，反例$f(x)=\sqrt{x}$在$(0,1)$上一致连续但导数无界。
提示：区分充分性和必要性，避免混淆。
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