广西民族大学 2020年数学分析第0题
📝 题目
2．证明：函数 $\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{ll}\left(x^{2}+y^{2}\right) \sin \frac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}, & x^{2}+y^{2} \neq 0, \\ 0, & x^{2}+y^{2}=0\end{array}\right.$ 在原点 $(0,0)$ 连续、存在偏导数且可微．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：证明函数在原点连续
要证明 $f(x,y)$ 在原点 $(0,0)$ 连续，即需证明 $\lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y)=f(0,0)=0$。当 $(x,y)\neq(0,0)$ 时，有 $|f(x,y)| = \left| (x^2+y^2)\sin\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}} \right| \le x^2+y^2$，因为 $|\sin(\cdot)|\le 1$。当 $(x,y)\to(0,0)$ 时，$x^2+y^2\to 0$，由夹逼定理得极限为 $0$，故连续。
公式：|f(x,y)| \le x^2+y^2
提示：注意利用正弦函数的有界性进行放缩，夹逼定理是处理此类极限的常用方法。
步骤 2/4
目标：证明偏导数 $f_x(0,0)$ 存在
由偏导数定义：$f_x(0,0)=\lim_{h\to 0}\frac{f(h,0)-f(0,0)}{h}$。当 $h\neq 0$ 时，$f(h,0)=h^2\sin\frac{1}{|h|}$，代入得 $\frac{f(h,0)}{h}=h\sin\frac{1}{|h|}$。由于 $|h\sin(1/|h|)|\le |h|\to 0$，故极限为 $0$，即 $f_x(0,0)=0$。
公式：f_x(0,0)=\lim_{h\to 0}h\sin\frac{1}{|h|}=0
提示：注意 $\sin(1/|h|)$ 在 $h\to 0$ 时振荡，但乘以 $h$ 后仍趋于 $0$，不要误以为极限不存在。
步骤 3/4
目标：证明偏导数 $f_y(0,0)$ 存在
类似地，$f_y(0,0)=\lim_{k\to 0}\frac{f(0,k)-0}{k}=\lim_{k\to 0}k\sin\frac{1}{|k|}=0$，因为 $|k\sin(1/|k|)|\le |k|\to 0$。
公式：f_y(0,0)=\lim_{k\to 0}k\sin\frac{1}{|k|}=0
提示：对称性可简化计算，但需注意 $f(0,k)$ 的表达式与 $f(h,0)$ 形式相同。
步骤 4/4
目标：证明函数在原点可微
需验证 $\lim_{(h,k)\to(0,0)}\frac{f(h,k)-f(0,0)-f_x(0,0)h-f_y(0,0)k}{\sqrt{h^2+k^2}}=0$。代入 $f(0,0)=0$，$f_x(0,0)=f_y(0,0)=0$，只需证 $\lim_{(h,k)\to(0,0)}\frac{f(h,k)}{\sqrt{h^2+k^2}}=0$。当 $(h,k)\neq(0,0)$ 时，$\frac{f(h,k)}{\sqrt{h^2+k^2}}=\sqrt{h^2+k^2}\sin\frac{1}{\sqrt{h^2+k^2}}$，其绝对值 $\le \sqrt{h^2+k^2}\to 0$，故极限为 $0$，可微得证。
公式：\frac{f(h,k)}{\sqrt{h^2+k^2}}=\sqrt{h^2+k^2}\sin\frac{1}{\sqrt{h^2+k^2}}
提示：可微定义中分母是 $\sqrt{h^2+k^2}$，注意与连续性的区别；这里利用有界性再次放缩即可。
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