广西民族大学 2020年数学分析第0题
📝 题目
3．设 $f(x)$ 在 $[1,+\infty)$ 上可微，$f^{\prime}(x)$ 单调增加且大于零．证明：当 $x \rightarrow+\infty$ 时 $f(x)$ 为正无穷大量．
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：明确已知条件
已知函数 \( f(x) \) 在区间 \([1, +\infty)\) 上可微，即在该区间内每一点导数存在；导函数 \( f'(x) \) 单调增加且恒大于零，即对任意 \( x \ge 1 \)，有 \( f'(x) > 0 \)，且当 \( x_1 < x_2 \) 时，\( f'(x_1) \le f'(x_2) \)。
提示：注意可微性保证了导数的存在，单调增加意味着导函数不下降。
步骤 2/5
目标：推导导函数的下界
由于 \( f'(x) \) 单调增加，对任意 \( x \ge 1 \)，有 \( f'(x) \ge f'(1) \)。又因为 \( f'(x) > 0 \)，特别地 \( f'(1) > 0 \)，记 \( m = f'(1) > 0 \)，则 \( f'(x) \ge m \) 对所有 \( x \ge 1 \) 成立。
公式：f'(x) \ge f'(1) > 0
提示：单调增加且恒正保证了最小值在左端点取到，且为正数。
步骤 3/5
目标：利用拉格朗日中值定理估计函数增长
对任意 \( x > 1 \)，由拉格朗日中值定理，存在 \( \xi \in (1, x) \) 使得 \( f(x) - f(1) = f'(\xi)(x-1) \)。由于 \( f'(\xi) \ge f'(1) = m > 0 \)，代入得 \( f(x) - f(1) \ge m(x-1) \)，即 \( f(x) \ge f(1) + m(x-1) \)。
公式：f(x) \ge f(1) + f'(1)(x-1)
提示：中值定理中的 \(\xi\) 在1和x之间，利用导数的下界放缩。
步骤 4/5
目标：取极限证明无穷大量
考虑 \( x \to +\infty \) 时，不等式右边 \( f(1) + m(x-1) \to +\infty \)，而 \( f(x) \) 不小于该线性函数，因此 \( \lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty \)。根据无穷大量的定义，\( f(x) \) 是正无穷大量。
公式：\lim_{x\to+\infty} f(x) = +\infty
提示：只需证明函数值趋于无穷，不需要具体增长速度。
步骤 5/5
目标：总结证明思路
本题的关键在于利用导函数的单调性和正性得到一致的正下界，然后通过拉格朗日中值定理将函数值的增长与线性函数比较，从而推出无穷大。
提示：注意单调增加的条件保证了导函数在区间内不减小，从而下界存在。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。