广西民族大学 2021年数学分析第0题
📝 题目
1．设 $L$ 为上半圆周 $x^{2}+y^{2}=1, y \geq 0$ 。求 $\int_{L}\left(x^{2}+y^{2}\right) d s$ 。
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：分析曲线与简化被积函数
曲线 $L$ 是上半圆周 $x^2+y^2=1, y \geq 0$，在曲线上任意点都满足 $x^2+y^2=1$，因此被积函数 $x^2+y^2$ 恒等于 $1$。原积分化为 $\int_L 1 \, ds$，即上半圆的弧长。
公式：$x^2+y^2=1$ 在 $L$ 上成立
提示：注意曲线方程可直接用于简化被积函数，这是曲线积分中常用的技巧。
步骤 2/4
目标：计算弧长
整个单位圆的周长为 $2\pi$，上半圆是周长的一半，因此弧长为 $\pi$。所以 $\int_L (x^2+y^2) \, ds = \pi$。
公式：圆周长 $C=2\pi r$，$r=1$
提示：上半圆对应 $t$ 从 $0$ 到 $\pi$，弧长即为半圆长度。
步骤 3/4
目标：参数化验证（可选）
采用参数方程 $x=\cos t,\; y=\sin t$，$t$ 从 $0$ 到 $\pi$。计算弧长微元：$ds = \sqrt{(-\sin t)^2+(\cos t)^2}\,dt = dt$。被积函数 $x^2+y^2=1$，积分 $\int_0^\pi 1\,dt = \pi$。结果一致。
公式：$ds = \sqrt{(dx/dt)^2+(dy/dt)^2}\,dt$
提示：参数化时注意 $t$ 的范围对应上半圆，$t\in[0,\pi]$。
步骤 4/4
目标：得出最终答案
综合以上步骤，曲线积分的值为 $\pi$。
公式：$\int_L (x^2+y^2)\,ds = \pi$
提示：答案简洁，注意书写规范。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。