广西民族大学 2021年数学分析第0题
📝 题目
2．求二重积分 $\iint_{D} \sin \sqrt{x^{2}+y^{2}} d x d y$ ，其中 $D=\left\{(x, y) \mid \pi^{2} \leq x^{2}+y^{2} \leq 4 \pi^{2}\right\}$ 。
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：分析积分区域与被积函数
积分区域 $D = \{(x, y) \mid \pi^{2} \leq x^{2}+y^{2} \leq 4\pi^{2}\}$ 表示一个圆环，半径 $r = \sqrt{x^2 + y^2}$ 的范围为 $\pi \leq r \leq 2\pi$。被积函数为 $\sin\sqrt{x^{2}+y^{2}} = \sin r$，与角度无关，适合使用极坐标。
公式：$r^2 = x^2 + y^2$，$r \in [\pi, 2\pi]$
提示：注意 $\pi^2$ 是半径的平方，开方后半径下限为 $\pi$，上限为 $2\pi$。
步骤 2/6
目标：转换为极坐标形式
采用极坐标变换：$x = r\cos\theta$，$y = r\sin\theta$，面积元 $dx\,dy = r\,dr\,d\theta$。积分区域变为 $r \in [\pi, 2\pi]$，$\theta \in [0, 2\pi]$。原积分化为：
$$\iint_D \sin\sqrt{x^2+y^2}\,dx\,dy = \int_{\theta=0}^{2\pi} \int_{r=\pi}^{2\pi} (\sin r)\, r\, dr\, d\theta$$
公式：$\iint_D f(x,y)\,dx\,dy = \iint_{D'} f(r\cos\theta, r\sin\theta)\, r\, dr\, d\theta$
提示：极坐标中不要漏掉雅可比行列式 $r$。
步骤 3/6
目标：分离变量并简化积分
被积函数与 $\theta$ 无关，先对 $\theta$ 积分：$\int_{0}^{2\pi} d\theta = 2\pi$。于是积分简化为：
$$2\pi \int_{\pi}^{2\pi} r \sin r \, dr$$
公式：$\int_{0}^{2\pi} d\theta = 2\pi$
提示：当被积函数与某一变量无关时，可以先积分该变量，简化计算。
步骤 4/6
目标：计算定积分 $\int r \sin r \, dr$
使用分部积分法：令 $u = r$，$dv = \sin r\, dr$，则 $du = dr$，$v = -\cos r$。于是：
$$\int r\sin r\, dr = -r\cos r - \int (-\cos r)\, dr = -r\cos r + \int \cos r\, dr = -r\cos r + \sin r + C$$
公式：$\int u\, dv = uv - \int v\, du$
提示：分部积分时注意符号，$\int \sin r\, dr = -\cos r$。
步骤 5/6
目标：代入上下限计算定积分值
计算 $\left[-r\cos r + \sin r\right]_{\pi}^{2\pi}$：
- 上限 $r=2\pi$：$-2\pi \cos(2\pi) + \sin(2\pi) = -2\pi \cdot 1 + 0 = -2\pi$
- 下限 $r=\pi$：$-\pi \cos\pi + \sin\pi = -\pi \cdot (-1) + 0 = \pi$
差值为：$(-2\pi) - (\pi) = -3\pi$
公式：$\int_{\pi}^{2\pi} r\sin r\, dr = -3\pi$
提示：注意 $\cos(2\pi)=1$，$\cos\pi=-1$，$\sin(2\pi)=\sin\pi=0$。
步骤 6/6
目标：得出最终结果
将定积分结果乘以 $2\pi$：
$$2\pi \times (-3\pi) = -6\pi^2$$
因此，二重积分的值为 $-6\pi^2$。
公式：$\iint_D \sin\sqrt{x^2+y^2}\,dx\,dy = -6\pi^2$
提示：最终结果是一个负数，这是正常的，因为 $\sin r$ 在 $[\pi, 2\pi]$ 上为负值。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。