广西民族大学 2021年数学分析第0题
📝 题目
3．已知 $\displaystyle f(x, y)=\frac{x-y+x^{2}+y^{2}}{x+y}$ 。计算其在原点的两个累次极限。
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：明确累次极限的定义
函数为 $f(x,y)=\frac{x-y+x^{2}+y^{2}}{x+y}$。两个累次极限分别是：先令 $x\to 0$ 再令 $y\to 0$，以及先令 $y\to 0$ 再令 $x\to 0$。
公式：$\lim_{y\to 0}\left(\lim_{x\to 0}f(x,y)\right)$ 和 $\lim_{x\to 0}\left(\lim_{y\to 0}f(x,y)\right)$
提示：注意累次极限的顺序不同，结果可能不同。
步骤 2/6
目标：计算第一个累次极限的内层极限
固定 $y\neq 0$，令 $x\to 0$：
$$\lim_{x\to 0}\frac{x-y+x^{2}+y^{2}}{x+y} = \frac{0-y+0+y^{2}}{0+y} = \frac{-y+y^{2}}{y} = -1+y$$
公式：$\lim_{x\to 0}f(x,y) = -1+y$
提示：代入 $x=0$ 时需确保分母 $y\neq 0$，否则表达式无定义。
步骤 3/6
目标：计算第一个累次极限的外层极限
对 $-1+y$ 取 $y\to 0$ 的极限：
$$\lim_{y\to 0}(-1+y) = -1$$
公式：$\lim_{y\to 0}(-1+y) = -1$
提示：直接代入 $y=0$ 即可。
步骤 4/6
目标：计算第二个累次极限的内层极限
固定 $x\neq 0$，令 $y\to 0$：
$$\lim_{y\to 0}\frac{x-y+x^{2}+y^{2}}{x+y} = \frac{x-0+x^{2}+0}{x+0} = \frac{x+x^{2}}{x} = 1+x$$
公式：$\lim_{y\to 0}f(x,y) = 1+x$
提示：代入 $y=0$ 时需确保分母 $x\neq 0$。
步骤 5/6
目标：计算第二个累次极限的外层极限
对 $1+x$ 取 $x\to 0$ 的极限：
$$\lim_{x\to 0}(1+x) = 1$$
公式：$\lim_{x\to 0}(1+x) = 1$
提示：直接代入 $x=0$ 即可。
步骤 6/6
目标：总结结果
第一个累次极限为 $-1$，第二个累次极限为 $1$。两个累次极限存在但不相等，因此原点的二重极限不存在。
公式：$\lim_{y\to 0}\lim_{x\to 0}f(x,y) = -1$，$\lim_{x\to 0}\lim_{y\to 0}f(x,y) = 1$
提示：累次极限不相等是二重极限不存在的充分条件。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。