广西民族大学 2021年数学分析第0题
📝 题目
4．已知： $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 1} \frac{x^{2}+a x+b}{1-x}=3$ ，求常数 $a, b$ 。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：分析极限存在的必要条件
由于分母 $1-x$ 在 $x \to 1$ 时趋于 $0$，而极限存在且为有限值 $3$，因此分子 $x^2 + a x + b$ 也必须趋于 $0$，否则极限将为无穷大。于是有：
$$\lim_{x \to 1} (x^2 + a x + b) = 0$$
公式：\lim_{x \to 1} (x^2 + a x + b) = 0
提示：注意：当分母趋于0时，若分子不趋于0，极限必为无穷大，因此分子趋于0是极限存在的必要条件。
步骤 2/7
目标：代入x=1得到第一个方程
将 $x=1$ 代入分子表达式：
$$1 + a + b = 0$$
整理得：
$$a + b = -1$$
公式：a + b = -1
提示：代入时注意不要遗漏常数项。
步骤 3/7
目标：因式分解分子
由于分子在 $x=1$ 处为零，说明 $x-1$ 是分子的一个因式。设另一个因式为 $x-c$，则：
$$x^2 + a x + b = (x-1)(x-c)$$
展开右边：
$$(x-1)(x-c) = x^2 - (1+c)x + c$$
公式：x^2 + a x + b = (x-1)(x-c)
提示：因式分解时注意符号，展开后与左边比较系数。
步骤 4/7
目标：比较系数得到a,b与c的关系
比较 $x^2 + a x + b$ 与 $x^2 - (1+c)x + c$ 的系数：
$$a = -(1+c), \quad b = c$$
公式：a = -(1+c), \quad b = c
提示：注意一次项系数的符号。
步骤 5/7
目标：化简极限表达式
将因式分解代入原极限：
$$\lim_{x \to 1} \frac{(x-1)(x-c)}{1-x}$$
由于 $1-x = -(x-1)$，所以：
$$\frac{(x-1)(x-c)}{1-x} = \frac{(x-1)(x-c)}{-(x-1)} = -(x-c) \quad (x \neq 1)$$
公式：\frac{(x-1)(x-c)}{1-x} = -(x-c)
提示：约分时注意 $x \neq 1$，但极限过程可以约去。
步骤 6/7
目标：计算极限并解出c
化简后极限为：
$$\lim_{x \to 1} -(x-c) = -(1-c)$$
由已知极限等于 $3$，得：
$$-(1-c) = 3$$
解得：
$$1-c = -3 \quad \Rightarrow \quad c = 4$$
公式：-(1-c) = 3 \Rightarrow c = 4
提示：解方程时注意移项变号。
步骤 7/7
目标：回代求a和b
由 $b = c$ 得 $b = 4$；由 $a = -(1+c)$ 得 $a = -(1+4) = -5$。
公式：a = -5, \quad b = 4
提示：检查是否满足第一步的方程 $a+b=-1$：$-5+4=-1$，正确。
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