广西民族大学 2021年数学分析第0题
📝 题目
5．求极限 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin ^{n} t d t$ 。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：理解被积函数在n→∞时的行为
在区间 $[0, \pi/2]$ 上，$\sin t$ 从 $0$ 增加到 $1$。当 $n$ 很大时，$\sin^n t$ 在大部分区间上非常小，只有在 $t$ 接近 $\pi/2$ 时，因为 $\sin(\pi/2)=1$，才贡献主要的积分值。
公式：$\sin t \in [0,1]$
提示：注意 $\sin t$ 在 $t=\pi/2$ 处达到最大值 $1$，这是极限为 $0$ 的关键原因。
步骤 2/4
目标：将积分区间分成两部分进行估计
取任意小的 $\varepsilon > 0$，将积分区间分为 $[0, \pi/2 - \varepsilon]$ 和 $[\pi/2 - \varepsilon, \pi/2]$。
公式：$\int_{0}^{\pi/2} \sin^n t \, dt = \int_{0}^{\pi/2 - \varepsilon} \sin^n t \, dt + \int_{\pi/2 - \varepsilon}^{\pi/2} \sin^n t \, dt$
提示：分点 $\pi/2 - \varepsilon$ 的选择要保证第一部分被积函数有严格小于 $1$ 的上界。
步骤 3/4
目标：估计第一部分积分趋于0
在 $[0, \pi/2 - \varepsilon]$ 上，$\sin t \leq \sin(\pi/2 - \varepsilon) < 1$，记 $q = \sin(\pi/2 - \varepsilon)$，则 $0 < q < 1$。于是 $\int_{0}^{\pi/2 - \varepsilon} \sin^n t \, dt \leq q^n \cdot (\pi/2) \to 0$ 当 $n \to \infty$。
公式：$\int_{0}^{\pi/2 - \varepsilon} \sin^n t \, dt \leq (\sin(\pi/2 - \varepsilon))^n \cdot \frac{\pi}{2}$
提示：注意 $q^n$ 是指数衰减，确保第一部分积分趋于 $0$。
步骤 4/4
目标：估计第二部分积分并综合结论
在 $[\pi/2 - \varepsilon, \pi/2]$ 上，$\sin t \leq 1$，因此 $\int_{\pi/2 - \varepsilon}^{\pi/2} \sin^n t \, dt \leq \varepsilon \cdot 1 = \varepsilon$。结合第一部分，对任意 $\varepsilon > 0$，存在 $N$ 使得当 $n > N$ 时，整个积分小于 $2\varepsilon$，故极限为 $0$。
公式：$\int_{\pi/2 - \varepsilon}^{\pi/2} \sin^n t \, dt \leq \varepsilon$
提示：这里 $\varepsilon$ 是任意小的正数，体现了极限的定义。
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