广西民族大学 2021年数学分析第0题
📝 题目
6．求极限 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{a^{n}+\left(\frac{a^{2}}{4}\right)^{n}} \quad(a>0)$ 。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：化简表达式形式
对于极限 \(\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a^n + \left(\frac{a^2}{4}\right)^n}\)，由于 \(a>0\)，两项均为正数。当 \(n\) 很大时，根号内的和由较大的项主导。因此，我们需要比较底数 \(a\) 和 \(\frac{a^2}{4}\) 的大小。
公式：\sqrt[n]{a^n + \left(\frac{a^2}{4}\right)^n} = \max\{a, \frac{a^2}{4}\} \cdot \sqrt[n]{1 + \left(\frac{\min\{a, \frac{a^2}{4}\}}{\max\{a, \frac{a^2}{4}\}}\right)^n}
提示：注意提取最大项时，要确保底数比较正确，且提取后根号内第二项趋于0。
步骤 2/5
目标：分情况讨论：当 \(a < 4\) 时
当 \(a < 4\) 时，有 \(a > \frac{a^2}{4}\)（因为 \(a - \frac{a^2}{4} = a(1-\frac{a}{4}) > 0\)），最大项为 \(a^n\)。于是：
\[
\sqrt[n]{a^n + \left(\frac{a^2}{4}\right)^n} = a \cdot \sqrt[n]{1 + \left(\frac{a}{4}\right)^n}.
\]
由于 \(\frac{a}{4} < 1\)，\(\left(\frac{a}{4}\right)^n \to 0\)，所以极限为 \(a \cdot 1 = a\)。
公式：\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a^n + \left(\frac{a^2}{4}\right)^n} = a, \quad 0 < a < 4
提示：注意 \(a\) 不能等于0，但题目已给 \(a>0\)。
步骤 3/5
目标：分情况讨论：当 \(a > 4\) 时
当 \(a > 4\) 时，有 \(\frac{a^2}{4} > a\)（因为 \(\frac{a^2}{4} - a = \frac{a(a-4)}{4} > 0\)），最大项为 \(\left(\frac{a^2}{4}\right)^n\)。于是：
\[
\sqrt[n]{a^n + \left(\frac{a^2}{4}\right)^n} = \frac{a^2}{4} \cdot \sqrt[n]{1 + \left(\frac{4}{a}\right)^n}.
\]
由于 \(\frac{4}{a} < 1\)，\(\left(\frac{4}{a}\right)^n \to 0\)，所以极限为 \(\frac{a^2}{4}\)。
公式：\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a^n + \left(\frac{a^2}{4}\right)^n} = \frac{a^2}{4}, \quad a > 4
提示：注意当 \(a>4\) 时，\(\frac{a^2}{4}\) 大于 \(a\)，不要混淆。
步骤 4/5
目标：分情况讨论：当 \(a = 4\) 时
当 \(a = 4\) 时，两项相等：\(a^n = 4^n\)，\(\left(\frac{a^2}{4}\right)^n = 4^n\)。于是和为 \(2 \cdot 4^n\)，开 \(n\) 次方得：
\[
\sqrt[n]{2 \cdot 4^n} = 4 \cdot \sqrt[n]{2} \to 4 \cdot 1 = 4.
\]
此时 \(a = 4\) 也满足 \(a = \frac{a^2}{4}\)，因此结果与 \(a<4\) 时的表达式一致。
公式：\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{4^n + 4^n} = 4
提示：注意 \(\sqrt[n]{2} \to 1\) 是常用结论。
步骤 5/5
目标：综合结论
综合以上三种情况，极限值为：
- 当 \(0 < a \le 4\) 时，极限为 \(a\)；
- 当 \(a > 4\) 时，极限为 \(\frac{a^2}{4}\)。
这可以统一写成 \(\max\{a, \frac{a^2}{4}\}\)，因为对于正数 \(a\)，这两个数中较大的那个就是极限。
公式：\boxed{\max\left\{a,\ \dfrac{a^{2}}{4}\right\}}
提示：注意 \(a=4\) 时两者相等，所以 \(\max\) 包含等号。
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