广西民族大学 2021年数学分析第0题
📝 题目
1．令 $P(x, y)=2 x \cos y-y^{2} \sin x, Q(x, y)=2 y \cos x-x^{2} \sin y$ 。
（1）证明：积分 $\int_{L} P(x, y) d x+Q(x, y) d y$ 与路径无关；
（2）设 $L$ 为从 $(0,0)$ 沿某抛物线到 $(1,1)$ 的一段，求 $\int_{L} P(x, y) d x+Q(x, y) d y$ 。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：验证积分与路径无关的条件
要证明曲线积分与路径无关，需验证在单连通区域内，恒有 $\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x}$。计算 $P(x,y)=2x\cos y - y^2\sin x$ 对 $y$ 的偏导数：$\frac{\partial P}{\partial y} = -2x\sin y - 2y\sin x$。再计算 $Q(x,y)=2y\cos x - x^2\sin y$ 对 $x$ 的偏导数：$\frac{\partial Q}{\partial x} = -2y\sin x - 2x\sin y$。
公式：$\frac{\partial P}{\partial y} = -2x\sin y - 2y\sin x$, $\frac{\partial Q}{\partial x} = -2y\sin x - 2x\sin y$
提示：注意对 $P$ 求 $y$ 偏导时，第二项 $-y^2\sin x$ 中 $\sin x$ 视为常数；对 $Q$ 求 $x$ 偏导时，第二项 $-x^2\sin y$ 中 $\sin y$ 视为常数。
步骤 2/6
目标：比较偏导数并得出结论
比较两个偏导数：$\frac{\partial P}{\partial y} = -2x\sin y - 2y\sin x$，$\frac{\partial Q}{\partial x} = -2y\sin x - 2x\sin y$，显然两者相等。因此，在全平面（单连通区域）上，该曲线积分与路径无关。
公式：$\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x}$
提示：积分与路径无关的充分条件是偏导数相等且区域单连通，这里全平面是单连通的。
步骤 3/6
目标：选择便于计算的路径
由于积分与路径无关，可选择折线路径：先从 $(0,0)$ 沿 $x$ 轴到 $(1,0)$，再沿竖直线从 $(1,0)$ 到 $(1,1)$。这样分段积分较为简单。
公式：路径：$L_1: y=0, 0\leq x\leq 1$；$L_2: x=1, 0\leq y\leq 1$
提示：选择路径时尽量让其中一个变量为常数，以简化被积函数。
步骤 4/6
目标：计算第一段路径的积分
第一段：从 $(0,0)$ 到 $(1,0)$，此时 $y=0$，$dy=0$。代入 $P(x,0)=2x\cos 0 - 0^2\sin x = 2x$，$Q(x,0)=0$。积分化为 $\int_0^1 2x\,dx = [x^2]_0^1 = 1$。
公式：$\int_{L_1} P\,dx+Q\,dy = \int_0^1 2x\,dx = 1$
提示：注意 $y=0$ 时 $Q$ 中两项均含 $y$ 因子，故 $Q=0$。
步骤 5/6
目标：计算第二段路径的积分
第二段：从 $(1,0)$ 到 $(1,1)$，此时 $x=1$，$dx=0$。代入 $Q(1,y)=2y\cos 1 - 1^2\sin y = 2y\cos 1 - \sin y$，$P$ 项不贡献。积分化为 $\int_0^1 (2y\cos 1 - \sin y)\,dy$。计算：$\int_0^1 2y\cos 1\,dy = \cos 1 \cdot [y^2]_0^1 = \cos 1$；$\int_0^1 \sin y\,dy = [-\cos y]_0^1 = -\cos 1 + 1$。因此第二段积分值为 $\cos 1 - (-\cos 1 + 1) = 2\cos 1 - 1$。
公式：$\int_{L_2} Q\,dy = \int_0^1 (2y\cos 1 - \sin y)\,dy = 2\cos 1 - 1$
提示：计算 $\int_0^1 \sin y\,dy$ 时注意原函数为 $-\cos y$，代入上下限得 $-\cos 1 + \cos 0 = -\cos 1 + 1$。
步骤 6/6
目标：求和得到最终结果
两段积分相加：第一段结果为 $1$，第二段结果为 $2\cos 1 - 1$，总和为 $1 + (2\cos 1 - 1) = 2\cos 1$。因此所求曲线积分为 $2\cos 1$。
公式：$\int_L P\,dx+Q\,dy = 2\cos 1$
提示：最终结果化简后不含常数项，注意 $\cos 1$ 中的 1 是弧度制。
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