广西民族大学 2021年数学分析第0题
📝 题目
2．讨论 $\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}\frac{x y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}},(x, y) \neq(0,0) \\ 0, \quad(x, y)=(0,0)\end{array}\right.$ 在点 $(0,0)$ 的连续性和可微性。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：判断函数在原点是否连续
我们需要考察当 $(x,y)\to(0,0)$ 时，$f(x,y)$ 是否趋于 $f(0,0)=0$。采用极坐标变换：令 $x=r\cos\theta,\; y=r\sin\theta$，则当 $r\to 0^+$ 时，有
\[
f(x,y)=\frac{r\cos\theta\cdot r\sin\theta}{r}=r\cos\theta\sin\theta.
\]
由于 $|\cos\theta\sin\theta|\le 1$，因此 $|f(x,y)|\le r\to 0$。这说明极限为 $0$，等于函数值，故函数在原点连续。
公式：f(x,y)=r\cos\theta\sin\theta,\; |f(x,y)|\le r
提示：极坐标变换是处理含 $\sqrt{x^2+y^2}$ 的极限问题的常用技巧，注意 $\cos\theta\sin\theta$ 的有界性。
步骤 2/5
目标：计算一阶偏导数在原点处的值
利用偏导数的定义计算 $f_x(0,0)$ 和 $f_y(0,0)$：
\[
f_x(0,0)=\lim_{h\to 0}\frac{f(h,0)-f(0,0)}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{0-0}{h}=0.
\]
同理，
\[
f_y(0,0)=\lim_{k\to 0}\frac{f(0,k)-0}{k}=0.
\]
因此两个一阶偏导数都存在且为 $0$。
公式：f_x(0,0)=\lim_{h\to 0}\frac{f(h,0)-f(0,0)}{h}=0,\; f_y(0,0)=0
提示：计算分段函数在分界点的偏导时，必须用定义，不能直接对表达式求导。
步骤 3/5
目标：写出可微性判别极限表达式
函数在 $(0,0)$ 处可微的充要条件是存在线性映射 $L$ 使得
\[
\lim_{(h,k)\to(0,0)}\frac{f(h,k)-f(0,0)-f_x(0,0)h-f_y(0,0)k}{\sqrt{h^2+k^2}}=0.
\]
代入 $f(0,0)=0,\; f_x(0,0)=f_y(0,0)=0$，得
\[
\lim_{(h,k)\to(0,0)}\frac{\frac{hk}{\sqrt{h^2+k^2}}-0-0}{\sqrt{h^2+k^2}}=\lim_{(h,k)\to(0,0)}\frac{hk}{h^2+k^2}.
\]
公式：\lim_{(h,k)\to(0,0)}\frac{hk}{h^2+k^2}
提示：可微性判别极限中，分母是 $\sqrt{h^2+k^2}$，分子是 $f(h,k)$ 减去线性逼近部分。
步骤 4/5
目标：判断极限是否存在
考虑两条不同的路径：
- 取路径 $k=h$，则
\[
\frac{h\cdot h}{h^2+h^2}=\frac{h^2}{2h^2}=\frac12.
\]
- 取路径 $k=0$，则
\[
\frac{h\cdot 0}{h^2+0}=0.
\]
两个路径的极限值不同（$\frac12\neq 0$），因此极限不存在。
公式：\text{路径 }k=h:\frac12,\; \text{路径 }k=0:0
提示：证明多元函数极限不存在时，通常选择两条不同路径得到不同极限值即可。
步骤 5/5
目标：得出可微性结论
由于可微性判别极限不存在，因此函数在原点不满足可微的定义。尽管偏导数存在，但函数在 $(0,0)$ 处不可微。
公式：\lim_{(h,k)\to(0,0)}\frac{hk}{h^2+k^2}\text{ 不存在}
提示：偏导数存在是可微的必要条件而非充分条件，还需验证全微分的极限是否为0。
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