广西民族大学 2021年数学分析第0题
📝 题目
1．证明： $\lim _{\alpha \rightarrow 0} \int_{-1}^{1} \sqrt{x^{2}+\alpha^{2}+|\sin \alpha x|} d x=1$ 。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：明确极限形式
我们要证明：
\[
\lim_{\alpha \to 0} \int_{-1}^{1} \sqrt{x^{2}+\alpha^{2}+|\sin \alpha x|} \, dx = 1
\]
公式：\lim_{\alpha \to 0} \int_{-1}^{1} \sqrt{x^{2}+\alpha^{2}+|\sin \alpha x|} \, dx = 1
提示：注意积分区间为[-1,1]，被积函数含参数α，需分析α→0时的行为。
步骤 2/5
目标：分析被积函数的逐点极限
对于固定的x∈[-1,1]，当α→0时，有α²→0，|sin(αx)|→0（因为sin(αx)~αx），因此被积函数的逐点极限为：
\[
\lim_{\alpha \to 0} \sqrt{x^{2}+\alpha^{2}+|\sin \alpha x|} = \sqrt{x^{2}} = |x|
\]
公式：\lim_{\alpha \to 0} \sqrt{x^{2}+\alpha^{2}+|\sin \alpha x|} = |x|
提示：注意|x|在x=0处不可导，但连续，不影响积分。
步骤 3/5
目标：寻找控制函数以交换极限与积分
当|α|≤1时，对于x∈[-1,1]，有：
\[
0 \le \alpha^{2}+|\sin(\alpha x)| \le \alpha^{2}+|\alpha x| \le 1+1=2
\]
因此被积函数满足：
\[
\sqrt{x^{2}+\alpha^{2}+|\sin \alpha x|} \le \sqrt{x^{2}+2}
\]
而函数√(x²+2)在[-1,1]上连续，从而可积。由Lebesgue控制收敛定理，可交换极限与积分：
\[
\lim_{\alpha\to 0} \int_{-1}^{1} \sqrt{x^{2}+\alpha^{2}+|\sin \alpha x|}\,dx = \int_{-1}^{1} \lim_{\alpha\to 0} \sqrt{x^{2}+\alpha^{2}+|\sin \alpha x|}\,dx
\]
公式：\sqrt{x^{2}+\alpha^{2}+|\sin \alpha x|} \le \sqrt{x^{2}+2}
提示：控制函数需在积分区间上可积，这里√(x²+2)连续，满足条件。
步骤 4/5
目标：计算极限积分
交换极限与积分后，得到：
\[
\int_{-1}^{1} |x| \, dx = 2 \int_{0}^{1} x \, dx = 2 \cdot \frac{1}{2} = 1
\]
公式：\int_{-1}^{1} |x| \, dx = 1
提示：计算|x|的积分时，利用对称性化为2倍[0,1]上的积分。
步骤 5/5
目标：得出结论
因此，原极限成立：
\[
\lim_{\alpha \to 0} \int_{-1}^{1} \sqrt{x^{2}+\alpha^{2}+|\sin \alpha x|} \, dx = 1
\]
公式：\boxed{1}
提示：最终答案需用方框标记。
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