广西民族大学 2021年数学分析第0题
📝 题目
2．设 $f_{1}(x)$ 在 $[a, b]$ 黎曼可积，$f_{n+1}(x)=\int_{a}^{x} f_{n}(t) d t$ 。证明：$f_{n}(x)$ 在 $[a, b]$ 一致收敛于 0 。
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：明确已知条件与目标
已知 $f_1(x)$ 在 $[a,b]$ 上黎曼可积，递推关系为 $f_{n+1}(x) = \int_a^x f_n(t) dt$。要证明函数列 $\{f_n(x)\}$ 在 $[a,b]$ 上一致收敛于 0。
公式：f_{n+1}(x) = \int_a^x f_n(t) dt
提示：注意 $f_1$ 可积意味着它有界，这是后续估计的基础。
步骤 2/5
目标：利用有界性给出初始估计
由于 $f_1$ 在 $[a,b]$ 上黎曼可积，故存在 $M_1 > 0$ 使得 $|f_1(x)| \leq M_1$ 对所有 $x \in [a,b]$ 成立。对 $f_2(x)$ 有 $|f_2(x)| = \left| \int_a^x f_1(t) dt \right| \leq \int_a^x |f_1(t)| dt \leq M_1 (x-a) \leq M_1 (b-a)$。
公式：|f_2(x)| \leq M_1 (x-a)
提示：这里只是粗略估计，后续需要更精确的衰减形式。
步骤 3/5
目标：归纳法推导精确上界
猜想 $|f_n(x)| \leq M_1 \frac{(x-a)^{n-1}}{(n-1)!}$。验证 $n=1$ 时成立。假设 $n=k$ 时成立，则 $|f_{k+1}(x)| \leq \int_a^x |f_k(t)| dt \leq \int_a^x M_1 \frac{(t-a)^{k-1}}{(k-1)!} dt = M_1 \frac{(x-a)^k}{k!}$，归纳成立。
公式：|f_n(x)| \leq M_1 \frac{(x-a)^{n-1}}{(n-1)!}
提示：注意积分公式 $\int_a^x (t-a)^{k-1} dt = \frac{(x-a)^k}{k}$，不要遗漏分母的阶乘。
步骤 4/5
目标：得到一致上界并证明一致收敛
由于 $x \in [a,b]$，有 $x-a \leq b-a$，故 $|f_n(x)| \leq M_1 \frac{(b-a)^{n-1}}{(n-1)!}$。该上界与 $x$ 无关，且当 $n \to \infty$ 时趋于 0（因为阶乘增长快于指数增长）。因此对任意 $\varepsilon > 0$，存在 $N$ 使得当 $n > N$ 时，对所有 $x \in [a,b]$ 有 $|f_n(x)| < \varepsilon$，即一致收敛于 0。
公式：|f_n(x)| \leq M_1 \frac{(b-a)^{n-1}}{(n-1)!} \to 0
提示：一致收敛的关键是上界与 $x$ 无关，且极限为 0。
步骤 5/5
目标：总结结论
由上述推导，函数列 $\{f_n(x)\}$ 在 $[a,b]$ 上一致收敛于 0。
公式：\lim_{n\to\infty} \sup_{x\in[a,b]} |f_n(x)| = 0
提示：注意一致收敛与逐点收敛的区别，这里上界是全局的。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。