广西民族大学 2021年数学分析第0题
📝 题目
3．若 $f(x)$ 在有限开区间 $(a, b)$ 连续。证明 $f(x)$ 在 $(a, b)$ 一致连续的充要条件为 $f(a+0), f(b-0)$均存在。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：理解一致连续与单侧极限的关系
一致连续的定义：对任意 $\varepsilon > 0$，存在 $\delta > 0$，使得对任意 $x_1, x_2 \in (a, b)$，只要 $|x_1 - x_2| < \delta$，就有 $|f(x_1) - f(x_2)| < \varepsilon$。单侧极限存在，例如 $f(a+0)$ 存在，意味着当 $x \to a^+$ 时，$f(x)$ 趋于一个有限数。这有助于将开区间端点补上，使函数在闭区间上连续。
公式：一致连续定义：$\forall \varepsilon>0, \exists \delta>0, \forall x_1,x_2\in(a,b): |x_1-x_2|<\delta \Rightarrow |f(x_1)-f(x_2)|<\varepsilon$
提示：注意一致连续是整体性质，与逐点连续不同，需要统一的 $\delta$。
步骤 2/5
目标：证明充分性：若两端极限存在，则一致连续
设 $f(a+0)=L$，$f(b-0)=M$ 均存在有限。定义延拓函数 $F(x)=\begin{cases} L, & x=a \\ f(x), & a
公式：$F(x)=\begin{cases} L, & x=a \\ f(x), & a
提示：康托尔定理只适用于闭区间，延拓是证明的关键。
步骤 3/5
目标：证明必要性：若一致连续，则左端点极限存在
已知 $f$ 在 $(a,b)$ 一致连续。取数列 $\{x_n\}\subset(a,b)$ 满足 $x_n\to a^+$。由一致连续定义，对任意 $\varepsilon>0$，存在 $\delta>0$，当 $|x_n-x_m|<\delta$ 时，有 $|f(x_n)-f(x_m)|<\varepsilon$。由于 $\{x_n\}$ 是柯西列，当 $n,m$ 充分大时 $|x_n-x_m|<\delta$，故 $\{f(x_n)\}$ 是柯西列，从而收敛。该极限与数列选取无关（可用两个不同数列逼近 $a$，利用一致连续性证明极限相同），所以 $\lim_{x\to a^+}f(x)$ 存在有限。
公式：由一致连续性：$|x_n-x_m|<\delta \Rightarrow |f(x_n)-f(x_m)|<\varepsilon$
提示：注意柯西准则的使用，以及极限与路径无关性的证明。
步骤 4/5
目标：证明必要性：右端点极限存在
类似地，取数列 $\{y_n\}\subset(a,b)$ 满足 $y_n\to b^-$。由一致连续定义，对任意 $\varepsilon>0$，存在 $\delta>0$，当 $|y_n-y_m|<\delta$ 时，有 $|f(y_n)-f(y_m)|<\varepsilon$。由于 $\{y_n\}$ 是柯西列，$\{f(y_n)\}$ 也是柯西列，故收敛。该极限与数列选取无关，因此 $\lim_{x\to b^-}f(x)$ 存在有限。
公式：同理：$|y_n-y_m|<\delta \Rightarrow |f(y_n)-f(y_m)|<\varepsilon$
提示：左右端点的证明对称，注意区间端点方向。
步骤 5/5
目标：总结结论
已证明：若 $f(a+0)$ 和 $f(b-0)$ 均存在，则 $f$ 在 $(a,b)$ 一致连续（充分性）；若 $f$ 在 $(a,b)$ 一致连续，则 $f(a+0)$ 和 $f(b-0)$ 均存在（必要性）。因此二者等价。
公式：充要条件：$f$ 在 $(a,b)$ 一致连续 $\iff$ $f(a+0)$ 与 $f(b-0)$ 均存在有限
提示：注意有限开区间条件，若区间无限则结论不成立。
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