广西民族大学 2021年数学分析第0题
📝 题目
4．证明积分 $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} \frac{\sin x}{x^{p}} d x$ 当 $p>0$ 时收敛。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：明确问题与收敛性分析方向
我们要证明反常积分 $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} \frac{\sin x}{x^{p}} \, dx$ 当 $p>0$ 时收敛。该积分为无穷区间上的反常积分，被积函数在 $[1,+\infty)$ 上连续，无内点奇点，因此只需考虑 $x\to +\infty$ 时的收敛性。由于被积函数含有振荡因子 $\sin x$，不能直接使用非负函数的比较判别法，需借助处理振荡积分的判别法。
公式：\int_{1}^{+\infty} \frac{\sin x}{x^{p}} \, dx
提示：注意积分下限为1，避免 $x=0$ 处的奇点问题。
步骤 2/5
目标：选择判别法：狄利克雷判别法
狄利克雷判别法适用于形如 $\int_a^\infty f(x)g(x)\,dx$ 的积分，其中 $f(x)$ 的原函数有界，$g(x)$ 单调趋于0。这里令 $f(x)=\sin x$，$g(x)=1/x^p$。我们需要验证两个条件：
1. $g(x)$ 在 $[1,+\infty)$ 上单调递减且趋于0；
2. $F(t)=\int_1^t \sin x\,dx$ 有界。
公式：\text{狄利克雷判别法：若 } \left|\int_a^t f(x)\,dx\right| \leq M \text{ 且 } g(x) \searrow 0, \text{ 则 } \int_a^\infty f(x)g(x)\,dx \text{ 收敛}
提示：狄利克雷判别法要求 $g(x)$ 单调，这里 $1/x^p$ 在 $p>0$ 时确实单调递减。
步骤 3/5
目标：验证条件1：g(x)单调趋于0
当 $p>0$ 时，函数 $g(x)=1/x^p$ 在 $[1,+\infty)$ 上连续可导，导数为 $g'(x)=-p/x^{p+1}<0$，因此 $g(x)$ 严格单调递减。又 $\lim\limits_{x\to+\infty} 1/x^p = 0$，故 $g(x)$ 单调趋于0。
公式：g(x)=\frac{1}{x^p},\quad g'(x)=-\frac{p}{x^{p+1}}<0,\quad \lim_{x\to+\infty}g(x)=0
提示：若 $p\leq 0$，则 $g(x)$ 不趋于0或单调性不成立，判别法失效。
步骤 4/5
目标：验证条件2：sin x的原函数有界
计算 $F(t)=\int_1^t \sin x\,dx = -\cos x\big|_1^t = -\cos t + \cos 1$。由于 $|\cos t|\leq 1$，$|\cos 1|\leq 1$，因此 $|F(t)| \leq |\cos t| + |\cos 1| \leq 2$，即 $F(t)$ 在 $[1,+\infty)$ 上有界。
公式：F(t)=\int_1^t \sin x\,dx = -\cos t + \cos 1,\quad |F(t)|\leq 2
提示：有界性不依赖于 $p$，只与 $\sin x$ 的周期性有关。
步骤 5/5
目标：应用狄利克雷判别法得出结论
由狄利克雷判别法，$f(x)=\sin x$ 的原函数有界，$g(x)=1/x^p$ 在 $p>0$ 时单调趋于0，因此反常积分 $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} \frac{\sin x}{x^{p}} \, dx$ 收敛。
公式：\int_{1}^{+\infty} \frac{\sin x}{x^{p}} \, dx \text{ 收敛 } (p>0)
提示：注意 $p>0$ 是充分条件，当 $p\leq 0$ 时积分发散（可用类似方法或直接比较证明）。
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