广西民族大学 2021年数学分析第0题
📝 题目
5．证明函数项级数 $\sum_{n=1}^{\infty} n e^{-n x}$ 在 $(0,+\infty)$ 收敛但不一致收敛。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：判断逐点收敛性
对于任意固定的 $x > 0$，令 $r = e^{-x}$，则 $0 < r < 1$，通项为 $n e^{-n x} = n r^n$。应用比值判别法：
\[
\lim_{n\to\infty} \frac{(n+1)r^{n+1}}{n r^n} = r \cdot \lim_{n\to\infty} \frac{n+1}{n} = r < 1,
\]
故级数收敛。因此对每个 $x > 0$，级数逐点收敛。
公式：\lim_{n\to\infty} \frac{(n+1)r^{n+1}}{n r^n} = r < 1
提示：注意 $x>0$ 保证 $r = e^{-x} \in (0,1)$，这是比值判别法适用的关键。
步骤 2/5
目标：建立一致收敛的否定判据
设部分和 $S_N(x) = \sum_{n=1}^N n e^{-n x}$，余项 $R_N(x) = \sum_{n=N+1}^\infty n e^{-n x}$。若级数在 $(0,+\infty)$ 上一致收敛，则应有
\[
\lim_{N\to\infty} \sup_{x>0} |R_N(x)| = 0.
\]
我们通过构造特定的 $x$ 来证明这个极限不成立。
公式：\lim_{N\to\infty} \sup_{x>0} |R_N(x)| = 0
提示：一致收敛的柯西准则等价于余项上确界趋于0，这是证明不一致收敛的常用方法。
步骤 3/5
目标：估计余项的下界
取 $x = \frac{1}{N}$，则对于 $n \geq N+1$，有 $n e^{-n/N}$。余项至少包含第一项：
\[
R_N\left(\frac{1}{N}\right) \geq (N+1) e^{-(N+1)/N}.
\]
当 $N \geq 1$ 时，$e^{-(N+1)/N} \geq e^{-2}$，因此
\[
R_N\left(\frac{1}{N}\right) \geq (N+1) e^{-2} \to \infty \quad (N \to \infty).
\]
公式：R_N\left(\frac{1}{N}\right) \geq (N+1) e^{-(N+1)/N} \geq (N+1) e^{-2}
提示：选择 $x=1/N$ 使得 $n x$ 在 $n$ 接近 $N$ 时保持有界，从而下界趋于无穷，避免误判。
步骤 4/5
目标：推导不一致收敛
由第三步知，
\[
\sup_{x>0} |R_N(x)| \geq R_N\left(\frac{1}{N}\right) \to \infty \quad (N \to \infty),
\]
故上确界不趋于0，根据一致收敛的充要条件，级数在 $(0,+\infty)$ 上不一致收敛。
公式：\sup_{x>0} |R_N(x)| \geq R_N(1/N) \to \infty
提示：注意上确界是大于等于任何特定点的余项值，因此只要找到一个点使余项发散即可。
步骤 5/5
目标：总结结论
综合以上步骤：
- 对每个 $x>0$，级数收敛（逐点收敛）。
- 但在整个区间 $(0,+\infty)$ 上，余项的上确界不趋于0，故不一致收敛。
因此，函数项级数 $\sum_{n=1}^{\infty} n e^{-n x}$ 在 $(0,+\infty)$ 上收敛但不一致收敛。
提示：逐点收敛与一致收敛的区别在于收敛速度是否依赖于 $x$，本题中靠近 $0$ 时收敛极慢。
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