曲阜师范大学 2026年数学分析第0题
📝 题目
1、求极限 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{e^{x} \cdot \sin x-x(1+x)}{x^{3}}$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：判断极限类型并选择方法
当 $x \to 0$ 时，分子 $e^x \sin x - x(1+x) \to 0$，分母 $x^3 \to 0$，属于 $\frac{0}{0}$ 型未定式。由于分母是 $x^3$，使用泰勒展开到 $x^3$ 阶较为简便。
公式：$$\lim_{x \to 0} \frac{e^x \sin x - x(1+x)}{x^3} = \frac{0}{0}$$
提示：注意观察分子中 $e^x \sin x$ 和 $x(1+x)$ 的展开，确保展开到足够高阶以抵消低阶项。
步骤 2/5
目标：展开 $e^x$ 和 $\sin x$ 到 $x^3$ 阶
将 $e^x$ 和 $\sin x$ 在 $x=0$ 处泰勒展开：
$$e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + O(x^4)$$
$$\sin x = x - \frac{x^3}{6} + O(x^5)$$
保留到 $x^3$ 项，因为分母为 $x^3$，更高阶项在极限中会趋于零。
公式：$$e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}, \quad \sin x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!}$$
提示：展开时注意 $\sin x$ 的奇函数性质，$x^2$ 项系数为零，不要遗漏 $x^3$ 项。
步骤 3/5
目标：计算 $e^x \sin x$ 的乘积展开
将两个展开式相乘，只保留到 $x^3$ 项：
$$e^x \sin x = \left(1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + \cdots\right) \left(x - \frac{x^3}{6} + \cdots\right)$$
逐项计算：
- $1 \cdot x = x$
- $x \cdot x = x^2$
- $\frac{x^2}{2} \cdot x = \frac{x^3}{2}$
- $1 \cdot \left(-\frac{x^3}{6}\right) = -\frac{x^3}{6}$
合并 $x^3$ 项系数：$\frac{1}{2} - \frac{1}{6} = \frac{1}{3}$，所以：
$$e^x \sin x = x + x^2 + \frac{1}{3}x^3 + O(x^4)$$
公式：$$e^x \sin x = x + x^2 + \frac{1}{3}x^3 + O(x^4)$$
提示：注意 $x^3$ 项来自两个部分：$\frac{x^2}{2} \cdot x$ 和 $1 \cdot (-\frac{x^3}{6})$，不要遗漏。
步骤 4/5
目标：计算分子 $e^x \sin x - x(1+x)$
将 $x(1+x)$ 展开为 $x + x^2$，代入分子：
$$e^x \sin x - x(1+x) = \left(x + x^2 + \frac{1}{3}x^3 + O(x^4)\right) - (x + x^2)$$
$x$ 和 $x^2$ 项抵消，得到：
$$= \frac{1}{3}x^3 + O(x^4)$$
公式：$$e^x \sin x - x(1+x) = \frac{1}{3}x^3 + O(x^4)$$
提示：抵消后只剩下 $x^3$ 项，说明原极限存在且有限。
步骤 5/5
目标：求极限并得出结果
将分子代入原极限：
$$\lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{3}x^3 + O(x^4)}{x^3} = \lim_{x \to 0} \left(\frac{1}{3} + O(x)\right) = \frac{1}{3}$$
因此极限值为 $\frac{1}{3}$。
公式：$$\lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{3}x^3 + O(x^4)}{x^3} = \frac{1}{3}$$
提示：注意 $O(x^4)/x^3 = O(x) \to 0$，所以结果就是 $\frac{1}{3}$。
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