曲阜师范大学 2026年数学分析第0题
📝 题目
2、求极限 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow+\infty} \int_{0}^{1} \frac{x^{n}}{1+x} \mathrm{~d} x$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：分析被积函数在区间上的行为
当 $x \in [0,1)$ 时，$x^n \to 0$（$n \to \infty$）；当 $x=1$ 时，$x^n = 1$。因此被积函数 $\frac{x^n}{1+x}$ 在 $[0,1)$ 上趋于 $0$，仅在 $x=1$ 处取值为 $\frac{1}{2}$，但该点为单点，对积分无影响。直观上极限可能为 $0$。
公式：\lim_{n\to\infty} x^n = \begin{cases} 0, & 0 \le x < 1 \\ 1, & x = 1 \end{cases}
提示：注意单点不影响积分值，但需严格证明极限为0。
步骤 2/5
目标：利用不等式放缩被积函数
由于 $0 \le \frac{1}{1+x} \le 1$ 对 $x \in [0,1]$ 成立，所以 $0 \le \frac{x^n}{1+x} \le x^n$。
公式：0 \le \frac{x^n}{1+x} \le x^n, \quad x \in [0,1]
提示：放缩时注意分母 $1+x \ge 1$，因此 $\frac{1}{1+x} \le 1$。
步骤 3/5
目标：对不等式两边积分
对 $[0,1]$ 积分得：$0 \le \int_0^1 \frac{x^n}{1+x} \, dx \le \int_0^1 x^n \, dx = \frac{1}{n+1}$。
公式：\int_0^1 x^n \, dx = \left[ \frac{x^{n+1}}{n+1} \right]_0^1 = \frac{1}{n+1}
提示：计算定积分时注意幂函数积分公式。
步骤 4/5
目标：应用夹逼定理求极限
由于 $0 \le \int_0^1 \frac{x^n}{1+x} \, dx \le \frac{1}{n+1}$，且 $\lim_{n\to\infty} \frac{1}{n+1} = 0$，由夹逼定理得极限为 $0$。
公式：\lim_{n\to\infty} \int_0^1 \frac{x^n}{1+x} \, dx = 0
提示：夹逼定理要求两边极限相等，这里下界为常数0，上界趋于0。
步骤 5/5
目标：（可选）用勒贝格控制收敛定理验证
函数列 $f_n(x) = \frac{x^n}{1+x}$ 在 $[0,1]$ 上点点收敛到 $f(x) = \begin{cases} 0, & 0 \le x < 1 \\ \frac{1}{2}, & x=1 \end{cases}$，几乎处处为 $0$。且 $|f_n(x)| \le 1$ 可积，由控制收敛定理，极限与积分可交换，结果为 $0$。
公式：\lim_{n\to\infty} \int_0^1 f_n(x) \, dx = \int_0^1 \lim_{n\to\infty} f_n(x) \, dx = 0
提示：控制收敛定理要求存在可积控制函数，这里取常数函数1即可。
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