曲阜师范大学 2026年数学分析第0题
📝 题目
3、求级数 $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(n+2)(n+1)}{n!} x^{n}$ 的和，并给出收玫域．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：观察级数形式，建立与指数函数的联系
级数为 $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(n+2)(n+1)}{n!} x^{n}$。注意到 $(n+2)(n+1)$ 是 $x^{n+2}$ 的二阶导数系数，而指数函数 $e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}$ 的收敛域为全体实数。
公式：$e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}$
提示：观察系数与导数关系，将级数转化为已知函数的导数形式。
步骤 2/6
目标：利用二阶导数改写级数
由于 $\frac{d^2}{dx^2} x^{n+2} = (n+2)(n+1) x^n$，所以原级数可写为 $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!} \frac{d^2}{dx^2} x^{n+2}$。
公式：$\frac{d^2}{dx^2} x^{n+2} = (n+2)(n+1) x^n$
提示：注意求导是对 $x$ 进行，$n$ 视为常数。
步骤 3/6
目标：交换求和与求导次序
在收敛区间内，幂级数可以逐项求导，因此 $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!} \frac{d^2}{dx^2} x^{n+2} = \frac{d^2}{dx^2} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{n+2}}{n!}$。
公式：$\frac{d^2}{dx^2} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{n+2}}{n!}$
提示：交换次序需保证级数在收敛域内一致收敛，这里对任意 $x$ 均成立。
步骤 4/6
目标：化简内部级数为已知函数
提取 $x^2$：$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{n+2}}{n!} = x^2 \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} = x^2 e^x$。
公式：$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{n+2}}{n!} = x^2 e^x$
提示：注意 $x^2$ 与求和指标 $n$ 无关，可直接提出。
步骤 5/6
目标：计算二阶导数得到和函数
先求一阶导数：$\frac{d}{dx}(x^2 e^x) = 2x e^x + x^2 e^x = (x^2+2x)e^x$。再求二阶导数：$\frac{d^2}{dx^2}(x^2 e^x) = \frac{d}{dx}[(x^2+2x)e^x] = (2x+2)e^x + (x^2+2x)e^x = (x^2+4x+2)e^x$。因此和函数 $S(x) = (x^2+4x+2)e^x$。
公式：$S(x) = (x^2+4x+2)e^x$
提示：求导时注意乘积法则，不要遗漏项。
步骤 6/6
目标：确定收敛域
使用比值判别法：$\lim_{n\to\infty} \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| = \lim_{n\to\infty} \frac{(n+3)(n+2)}{(n+1)!} \cdot \frac{n!}{(n+2)(n+1)} |x| = \lim_{n\to\infty} \frac{n+3}{(n+1)^2} |x| = 0$。对任意有限 $x$，极限为0，因此收敛半径为 $+\infty$，收敛域为 $(-\infty, +\infty)$。
公式：$\lim_{n\to\infty} \frac{n+3}{(n+1)^2} |x| = 0$
提示：比值判别法适用于系数含阶乘的级数，极限为0说明对任意 $x$ 收敛。
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