曲阜师范大学 2026年数学分析第0题
📝 题目
4、已知 $D=\{(x, y): 0 \leq x \leq 1, x \leq y \leq 2 \pi\}$ ，计算二重积分 $\iint_{D}(\sqrt{x}+y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：确定积分区域与积分次序
积分区域 $D=\{(x, y): 0 \leq x \leq 1, x \leq y \leq 2\pi\}$，对于固定的 $x$，$y$ 从 $x$ 到 $2\pi$，因此先对 $y$ 积分，再对 $x$ 积分。
公式：\iint_D (\sqrt{x}+y)\,dx\,dy = \int_{x=0}^{1} \int_{y=x}^{2\pi} (\sqrt{x}+y)\,dy\,dx
提示：注意积分限的对应关系：内层积分限依赖于外层变量。
步骤 2/5
目标：计算内层对 y 的积分
将 $\sqrt{x}$ 视为常数，计算：
\[
\int_{y=x}^{2\pi} (\sqrt{x}+y)\,dy = \sqrt{x} \cdot (2\pi - x) + \int_{x}^{2\pi} y\,dy
\]
其中
\[
\int_{x}^{2\pi} y\,dy = \left.\frac{y^2}{2}\right|_{y=x}^{2\pi} = \frac{(2\pi)^2}{2} - \frac{x^2}{2} = 2\pi^2 - \frac{x^2}{2}
\]
所以内层积分结果为：
\[
\sqrt{x}(2\pi - x) + 2\pi^2 - \frac{x^2}{2}
\]
公式：\int_{x}^{2\pi} y\,dy = 2\pi^2 - \frac{x^2}{2}
提示：注意 $\sqrt{x}$ 与 $y$ 无关，可直接提出。
步骤 3/5
目标：将内层结果代入外层积分并拆项
外层积分为：
\[
\int_{0}^{1} \left[ \sqrt{x}(2\pi - x) + 2\pi^2 - \frac{x^2}{2} \right] dx
\]
拆成四个部分：
1. $\int_{0}^{1} 2\pi \sqrt{x}\,dx$
2. $\int_{0}^{1} (-\sqrt{x} \cdot x)\,dx = -\int_{0}^{1} x^{3/2}\,dx$
3. $\int_{0}^{1} 2\pi^2\,dx$
4. $\int_{0}^{1} -\frac{x^2}{2}\,dx$
公式：\sqrt{x}(2\pi - x) = 2\pi\sqrt{x} - x^{3/2}
提示：拆项时注意符号，避免遗漏。
步骤 4/5
目标：分别计算四个积分
计算如下：
1. $\int_{0}^{1} 2\pi \sqrt{x}\,dx = 2\pi \cdot \frac{2}{3} x^{3/2}\big|_0^1 = \frac{4\pi}{3}$
2. $-\int_{0}^{1} x^{3/2}\,dx = -\frac{2}{5} x^{5/2}\big|_0^1 = -\frac{2}{5}$
3. $\int_{0}^{1} 2\pi^2\,dx = 2\pi^2$
4. $-\int_{0}^{1} \frac{x^2}{2}\,dx = -\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} = -\frac{1}{6}$
公式：\int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} \quad (n \neq -1)
提示：注意幂函数积分公式的运用，特别是 $\sqrt{x}=x^{1/2}$。
步骤 5/5
目标：合并所有结果并化简
将四个积分结果相加：
\[
\frac{4\pi}{3} - \frac{2}{5} + 2\pi^2 - \frac{1}{6}
\]
合并常数部分：
\[
-\frac{2}{5} - \frac{1}{6} = -\frac{12}{30} - \frac{5}{30} = -\frac{17}{30}
\]
因此最终结果为：
\[
2\pi^2 + \frac{4\pi}{3} - \frac{17}{30}
\]
公式：\frac{4\pi}{3} - \frac{2}{5} + 2\pi^2 - \frac{1}{6} = 2\pi^2 + \frac{4\pi}{3} - \frac{17}{30}
提示：合并常数时注意通分，分母取最小公倍数30。
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