曲阜师范大学 2026年数学分析第0题

曲线 $C$ 是顶点为 $A(1,-1), B(1,1), C(-1,1), D(-1,-1)$ 的正方形，方向为逆时针。被积函数分母为 $x^2+y^2$，在原点 $(0,0)$ 处为零，故原点是被积函数的奇点。观察正方形区域，原点位于正方形内部，因此不能直接应用格林公式。

设 $P = \dfrac{-(x+y)}{x^2+y^2}$，$Q = \dfrac{x-y}{x^2+y^2}$。在非原点处计算偏导数： $$ \frac{\partial P}{\partial y} = \frac{ -1\cdot (x^2+y^2) + (x+y)\cdot 2y }{(x^2+y^2)^2} = \frac{ -x^2 - y^2 + 2xy + 2y^2 }{(x^2+y^2)^2} = \frac{ -x^2 + y^2 + 2xy }{(x^2+y^2)^2} $$ $$ \frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{1\cdot (x^2+y^2) - (x-y)\cdot 2x }{(x^2+y^2)^2} = \frac{ x^2+y^2 - 2x^2 + 2xy }{(x^2+y^2)^2} = \frac{ -x^2 + y^2 + 2xy }{(x^2+y^2)^2} $$ 故 $\dfrac{\partial Q}{\partial x} - \dfrac{\partial P}{\partial y} = 0$，在除去原点的区域向量场无旋。

由于原点在正方形内部，取以原点为中心、半径 $r$ 足够小的圆周 $C_r$，方向取为顺时针（记为 $C_r^-$）。则在正方形 $C$ 与小圆 $C_r$ 之间的区域（不含原点）上，格林公式成立且旋度为零，故有 $$ \oint_{C} P\,dx+Q\,dy + \oint_{C_r^-} P\,dx+Q\,dy = 0 $$ 因此 $$ \oint_{C} = -\oint_{C_r^-} = \oint_{C_r^+} $$ 其中 $C_r^+$ 表示逆时针方向的小圆周。

取小圆参数方程：$x = r\cos\theta$，$y = r\sin\theta$，方向逆时针，$\theta$ 从 $0$ 到 $2\pi$。则 $dx = -r\sin\theta\,d\theta$，$dy = r\cos\theta\,d\theta$。被积表达式分子为 $$ -(x+y)dx + (x-y)dy $$ 代入得： 第一项：$-(r\cos\theta+r\sin\theta)(-r\sin\theta\,d\theta) = r^2(\cos\theta\sin\theta+\sin^2\theta)\,d\theta$ 第二项：$(r\cos\theta-r\sin\theta)(r\cos\theta\,d\theta) = r^2(\cos^2\theta-\sin\theta\cos\theta)\,d\theta$ 两项相加：$r^2(\cos\theta\sin\theta+\sin^2\theta+\cos^2\theta-\sin\theta\cos\theta)\,d\theta = r^2(\sin^2\theta+\cos^2\theta)\,d\theta = r^2\,d\theta$ 分母 $x^2+y^2 = r^2$，故被积式简化为 $\dfrac{r^2\,d\theta}{r^2} = d\theta$。 沿逆时针小圆积分得 $$ \int_0^{2\pi} d\theta = 2\pi $$

由第三步的关系 $\oint_C = \oint_{C_r^+}$，故原正方形逆时针方向的曲线积分等于小圆逆时针方向的积分，即 $$ \oint_C \frac{-(x+y)dx+(x-y)dy}{x^2+y^2} = 2\pi $$