曲阜师范大学 2026年数学分析第0题

通项为 $u_n(x)=\frac{(-1)^{n+1}}{n+x^2}\arctan(nx)$。对于固定的 $x$，当 $n\to\infty$ 时，分母 $n+x^2\sim n$，$\arctan(nx)\to\pm\frac{\pi}{2}$（取决于 $x$ 的符号），故 $|u_n(x)|\sim\frac{\pi/2}{n}\to0$。且 $\frac{1}{n+x^2}$ 关于 $n$ 单调递减，$\arctan(nx)$ 有界，由 Leibniz 判别法知级数在每点 $x$ 处条件收敛。

对于交错级数，若通项绝对值 $|u_n(x)|$ 关于 $n$ 单调递减且趋于0，则余项 $|R_N(x)|\le |u_{N+1}(x)|$。因此若能证明 $\sup_{x\in\mathbb{R}}|u_n(x)|\to0$，则一致收敛。直接放缩：$|\arctan(nx)|\le\frac{\pi}{2}$，故 $|u_n(x)|\le\frac{\pi/2}{n+x^2}\le\frac{\pi/2}{n}$。这个上界与 $x$ 无关且趋于0，但需注意 $\frac{\arctan(nx)}{n+x^2}$ 关于 $n$ 是否单调递减？

考虑函数 $f(t)=\frac{\arctan(tx)}{t+x^2}$（$t>0$ 连续）。求导：$f'(t)=\frac{\frac{x}{1+(tx)^2}(t+x^2)-\arctan(tx)}{(t+x^2)^2}$。当 $t$ 充分大时，$\arctan(tx)\to\pm\frac{\pi}{2}$ 有界，而分子第一项 $\frac{x(t+x^2)}{1+(tx)^2}\sim\frac{x}{t}\to0$，故 $f'(t)<0$。因此存在 $N_0$（与 $x$ 有关）使得当 $n>N_0$ 时 $|u_n(x)|$ 单调递减。但 $N_0$ 可能依赖于 $x$，需要寻找与 $x$ 无关的公共起始指标。

分情况讨论： 1. 若 $|x|\ge1$，则 $\arctan(nx)$ 很快接近 $\pm\frac{\pi}{2}$，分母 $n+x^2\ge n+1$，对 $n\ge1$ 易证 $\frac{\arctan(nx)}{n+x^2}$ 递减。 2. 若 $|x|<1$，利用不等式 $\arctan(nx)\le n|x|$，则 $|u_n(x)|\le\frac{n|x|}{n+x^2}\le|x|$，但需严格单调性。考虑 $n\ge2$ 时，$\frac{n|x|}{n+x^2}$ 关于 $n$ 递减（因为导数 $\frac{x^2- n^2|x|}{(n+x^2)^2}<0$ 当 $n>|x|$），而 $\arctan(nx)\le n|x|$ 且 $\arctan(nx)$ 递增，故 $|u_n(x)|$ 也递减。取 $N=2$ 即可覆盖所有 $x$。 因此存在公共 $N=2$，对 $n\ge3$ 通项绝对值关于 $n$ 单调递减。

由第4步，存在 $N_0=2$ 使得对所有 $x\in\mathbb{R}$ 和 $n\ge N_0$，$|u_n(x)|$ 关于 $n$ 单调递减且趋于0。于是对任意 $N\ge N_0$，余项满足 $|R_N(x)|\le |u_{N+1}(x)|$。而 $\sup_{x\in\mathbb{R}}|u_{N+1}(x)|\le\frac{\pi/2}{N+1}\to0$（$N\to\infty$），故余项一致趋于0。由 Cauchy 一致收敛准则，级数在 $\mathbb{R}$ 上一致收敛。