曲阜师范大学 2026年数学分析第0题
📝 题目
6、判断 $\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{\sin x}{x^{p}} \mathrm{~d} x$ 的玫散性，其中 $1<p<2$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：确定瑕点位置
积分区间为 $[0,1]$，被积函数 $\frac{\sin x}{x^p}$ 在 $x=0$ 处分母为零，且分子 $\sin x \to 0$，因此 $x=0$ 是可能的瑕点。在 $x=1$ 处函数连续，无瑕点问题。
提示：注意检查区间端点是否有奇点，尤其是分母为零的点。
步骤 2/5
目标：在瑕点附近进行等价无穷小替换
当 $x \to 0^+$ 时，$\sin x \sim x$，因此被积函数近似为 $\frac{\sin x}{x^p} \sim \frac{x}{x^p} = \frac{1}{x^{p-1}}$。
公式：\sin x \sim x \quad (x \to 0)
提示：等价无穷小替换时，要确保替换后的函数在瑕点附近与原函数同阶。
步骤 3/5
目标：判断比较积分的收敛性
考虑积分 $\int_0^1 \frac{1}{x^{p-1}} \, dx$，其收敛当且仅当指数 $p-1 < 1$，即 $p < 2$。题目给定 $1 < p < 2$，故 $0 < p-1 < 1$，该比较积分收敛。
公式：\int_0^1 \frac{1}{x^\alpha} \, dx \text{ 收敛 } \iff \alpha < 1
提示：注意 $p$ 的范围是 $1
步骤 4/5
目标：应用比较判别法得出原积分的收敛性
由于在 $(0,1]$ 上 $\frac{\sin x}{x^p} \ge 0$，且 $\frac{\sin x}{x^p} \sim \frac{1}{x^{p-1}}$ 在 $x=0$ 附近，而 $\int_0^1 \frac{1}{x^{p-1}} \, dx$ 收敛，由比较判别法（极限形式）可知原积分 $\int_0^1 \frac{\sin x}{x^p} \, dx$ 收敛。
公式：\lim_{x \to 0^+} \frac{\frac{\sin x}{x^p}}{\frac{1}{x^{p-1}}} = 1
提示：比较判别法要求被积函数非负，这里在 $x$ 充分小时 $\sin x > 0$，故非负性成立。
步骤 5/5
目标：总结结论
因此，对于 $1 < p < 2$，瑕积分 $\displaystyle \int_0^1 \frac{\sin x}{x^p} \, dx$ 收敛。
提示：注意 $p$ 的范围是开区间，端点 $p=1$ 和 $p=2$ 需要单独讨论。
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