曲阜师范大学 2026年数学分析第0题
📝 题目
7．问 $\displaystyle f(x, y)=\sin \frac{\pi}{1-x^{2}-y^{2}}$ 在 $D=\left\{(x, y): x^{2}+y^{2}<1\right\}$ 上是否连续？又是否一致连续呢？
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：判断函数在定义域内的连续性
函数 $f(x,y)=\sin\frac{\pi}{1-x^{2}-y^{2}}$ 的定义域 $D=\{(x,y):x^{2}+y^{2}<1\}$ 是开圆盘。在 $D$ 内，$1-x^{2}-y^{2}>0$，因此分母不为零，$\frac{\pi}{1-x^{2}-y^{2}}$ 是连续函数（多项式分式，分母恒正）。正弦函数 $\sin t$ 在 $\mathbb{R}$ 上连续，故复合函数 $f(x,y)$ 在 $D$ 内每一点连续。
公式：f(x,y)=\sin\left(\frac{\pi}{1-x^{2}-y^{2}}\right),\quad x^{2}+y^{2}<1
提示：注意定义域是开集，边界点不在定义域内，只需考虑内部点的连续性。
步骤 2/4
目标：分析边界附近函数值的变化趋势
当 $(x,y)$ 趋近于边界 $x^{2}+y^{2}=1$ 时，$1-x^{2}-y^{2}\to 0^{+}$，从而 $\frac{\pi}{1-x^{2}-y^{2}}\to +\infty$。正弦函数在自变量趋于无穷时无限振荡，频率越来越快，这可能导致在边界附近即使两点距离很小，函数值差也可能很大。
公式：\lim_{x^{2}+y^{2}\to 1^{-}}\frac{\pi}{1-x^{2}-y^{2}}=+\infty
提示：振荡函数的自变量趋于无穷时，函数值在 $[-1,1]$ 内剧烈变化。
步骤 3/4
目标：构造反例证明不一致连续
取两个点列 $P_n=(r_n,0)$ 和 $Q_n=(r_n',0)$，其中 $r_n=\sqrt{1-\frac{1}{n}}$，$r_n'=\sqrt{1-\frac{1}{n+\frac{1}{2}}}$。则 $\frac{\pi}{1-r_n^{2}}=n\pi$，$\frac{\pi}{1-(r_n')^{2}}=(n+\frac{1}{2})\pi$。于是 $f(P_n)=\sin(n\pi)=0$，$f(Q_n)=\sin\left((n+\frac{1}{2})\pi\right)=\pm1$。当 $n\to\infty$ 时，$|P_nQ_n|\to 0$，但 $|f(P_n)-f(Q_n)|=1$，不满足一致连续定义。
公式：|P_nQ_n|=\left|\sqrt{1-\frac{1}{n}}-\sqrt{1-\frac{1}{n+\frac{1}{2}}}\right|\to 0,\quad |f(P_n)-f(Q_n)|=1
提示：构造点列时需确保两点距离任意小但函数值差固定，常用正弦函数在 $n\pi$ 和 $(n+\frac{1}{2})\pi$ 处的取值。
步骤 4/4
目标：总结结论
由第一步知 $f$ 在 $D$ 上连续；由第二步和第三步知 $f$ 在 $D$ 上不一致连续。因此，函数在 $D$ 上连续但不一致连续。
提示：开区域上的一致连续性通常需要函数在边界附近有良好的行为，此处因振荡剧烈而破坏。
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