曲阜师范大学 2026年数学分析第0题
📝 题目
8、设对任意向量 $\alpha, \beta$ ，都有 $\lim _{t \rightarrow 0}\left[f\left(x_{0}+t \alpha, y_{0}+t \beta\right)-f\left(x_{0}, y_{0}\right)\right]=0$ ，问函数是否在点 $\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 处连续？
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：理解连续的定义
函数 $f(x,y)$ 在点 $(x_0, y_0)$ 处连续的定义是：对任意 $\varepsilon > 0$，存在 $\delta > 0$，使得当 $\sqrt{(x-x_0)^2 + (y-y_0)^2} < \delta$ 时，有 $|f(x,y) - f(x_0,y_0)| < \varepsilon$。这意味着所有以 $(x_0,y_0)$ 为圆心的小圆盘内的点都必须满足该不等式，而不仅仅是沿着直线方向趋近的点。
公式：\lim_{(x,y)\to (x_0,y_0)} f(x,y) = f(x_0,y_0)
提示：注意连续要求所有路径趋近时极限都等于函数值，而不仅仅是直线路径。
步骤 2/4
目标：分析题目条件的含义
题目条件为：对任意方向向量 $(\alpha, \beta)$，有 $\lim_{t \to 0} [f(x_0 + t\alpha, y_0 + t\beta) - f(x_0, y_0)] = 0$。这仅保证了沿任何过 $(x_0,y_0)$ 的直线方向趋近时，函数值趋于 $f(x_0,y_0)$，但并未覆盖所有可能的趋近路径（如曲线路径）。
公式：\lim_{t\to 0} f(x_0 + t\alpha, y_0 + t\beta) = f(x_0, y_0), \quad \forall (\alpha,\beta) \neq (0,0)
提示：多元函数中，沿所有直线方向极限相等且等于函数值，不一定能推出全面极限存在。
步骤 3/4
目标：构造反例说明不连续性
考虑函数 $f(x,y) = \begin{cases} 1, & \text{若 } y = x^2 \text{ 且 } x \neq 0, \\ 0, & \text{其他情况} \end{cases}$，取 $(x_0,y_0) = (0,0)$，则 $f(0,0)=0$。对于任意方向 $(\alpha,\beta)$，沿直线 $(t\alpha, t\beta)$ 趋近原点时，除原点外，直线与抛物线 $y=x^2$ 至多交于一点，因此对充分小的 $t\neq 0$，点不在抛物线上，故 $f(t\alpha, t\beta)=0$，满足题目条件。但沿曲线 $y=x^2$ 趋近原点时，当 $x\neq 0$ 时 $f(x,x^2)=1$，极限为 $1 \neq 0$，所以函数在原点不连续。
公式：\lim_{t\to 0} f(t\alpha, t\beta) = 0 = f(0,0), \quad \text{但} \lim_{x\to 0} f(x, x^2) = 1 \neq f(0,0)
提示：反例的关键是构造一个仅在一条曲线上取值不同，而所有直线都不与该曲线重合（除原点外）的函数。
步骤 4/4
目标：得出结论
题目所给的条件（沿所有直线方向趋近时极限等于函数值）不能保证函数在点 $(x_0,y_0)$ 处连续。因为存在反例表明，沿曲线趋近时极限可能不等于函数值，从而不满足连续定义。
公式：\text{条件} \nRightarrow \text{连续性}
提示：记住：多元函数连续需要所有路径的极限一致，仅直线方向不够。
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