江南大学 2024年数学分析第0题
📝 题目
1．计算 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} n^{-}\left(\frac{1}{n}-\ln \left(1+\frac{1}{n}\right)\right)=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：识别并修正题目中的符号错误
原题中写有“n^{-}”，推测为笔误，实际应为 $n$ 乘以括号内的表达式。因此将极限理解为：
$$
\lim_{n \to \infty} n\left( \frac{1}{n} - \ln\left(1+\frac{1}{n}\right) \right)
$$
提示：注意检查题目中的符号，确保理解正确。
步骤 2/5
目标：变量替换，将极限转化为关于 $x$ 的极限
令 $x = \frac{1}{n}$，则当 $n \to \infty$ 时，$x \to 0^+$。原极限变为：
$$
\lim_{x \to 0^+} \frac{1}{x} \left( x - \ln(1+x) \right) = \lim_{x \to 0} \frac{x - \ln(1+x)}{x}
$$
公式：$$\lim_{n \to \infty} n\left( \frac{1}{n} - \ln\left(1+\frac{1}{n}\right) \right) = \lim_{x \to 0} \frac{x - \ln(1+x)}{x}$$
提示：注意 $x \to 0^+$ 与 $x \to 0$ 在此处等价，因为函数在 $x=0$ 附近有定义。
步骤 3/5
目标：利用泰勒展开计算极限
当 $x \to 0$ 时，$\ln(1+x)$ 的泰勒展开为：
$$
\ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \cdots
$$
因此：
$$
x - \ln(1+x) = \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} + \cdots
$$
代入极限表达式：
$$
\frac{x - \ln(1+x)}{x} = \frac{x}{2} - \frac{x^2}{3} + \cdots \to 0 \quad (x \to 0)
$$
公式：$$\ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \cdots$$
提示：泰勒展开时注意保留到足够高阶的项，此处只需知道主项为 $\frac{x^2}{2}$ 即可。
步骤 4/5
目标：用洛必达法则验证结果
分子分母均趋于0，满足洛必达法则条件：
$$
\lim_{x \to 0} \frac{x - \ln(1+x)}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{1 - \frac{1}{1+x}}{1} = \lim_{x \to 0} \frac{(1+x)-1}{1+x} = \lim_{x \to 0} \frac{x}{1+x} = 0
$$
公式：$$\lim_{x \to 0} \frac{x - \ln(1+x)}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{1 - \frac{1}{1+x}}{1}$$
提示：使用洛必达法则前需确认 $\frac{0}{0}$ 型未定式。
步骤 5/5
目标：得出最终答案
由以上两种方法均得到极限为0，因此原极限值为0。
公式：$$\lim_{n \to \infty} n\left( \frac{1}{n} - \ln\left(1+\frac{1}{n}\right) \right) = 0$$
提示：答案是一个数值，不要遗漏。
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