江南大学 2024年数学分析第0题
📝 题目
2．求 $\iint_{D} e^{-\left(x^{2}+v^{2}\right)} d x d y=$ $\_\_\_\_$ ，$D=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2}<1\right\}$
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：分析积分区域与被积函数
积分区域 $D = \{ (x,y) \mid x^2 + y^2 < 1 \}$ 是半径为 1 的圆盘。被积函数 $e^{-(x^2+y^2)}$ 只依赖于点到原点的距离 $r = \sqrt{x^2+y^2}$，具有旋转对称性，适合使用极坐标变换。
公式：D: x^2 + y^2 < 1
提示：注意区域是开圆盘，但边界不影响积分值，可视为闭圆盘处理。
步骤 2/6
目标：进行极坐标变换
令 $x = r\cos\theta$, $y = r\sin\theta$，则面积元 $dx\,dy = r\,dr\,d\theta$。被积函数化为 $e^{-(x^2+y^2)} = e^{-r^2}$。积分区域变为 $0 \le r < 1$，$0 \le \theta \le 2\pi$。
公式：x = r\cos\theta,\quad y = r\sin\theta,\quad dx\,dy = r\,dr\,d\theta
提示：极坐标变换时不要漏掉雅可比行列式中的 $r$。
步骤 3/6
目标：将二重积分化为累次积分
原积分化为：
$$\iint_D e^{-(x^2+y^2)} dx\,dy = \int_{\theta=0}^{2\pi} \int_{r=0}^{1} e^{-r^2} \, r \, dr \, d\theta$$
公式：\iint_D e^{-(x^2+y^2)} dx\,dy = \int_0^{2\pi} d\theta \int_0^1 r e^{-r^2} dr
提示：由于被积函数与 $\theta$ 无关，可以先对 $\theta$ 积分。
步骤 4/6
目标：对角度积分
先计算 $\theta$ 部分的积分：
$$\int_0^{2\pi} d\theta = 2\pi$$
公式：\int_0^{2\pi} d\theta = 2\pi
提示：角度积分直接得到 $2\pi$，这是圆对称性的直接结果。
步骤 5/6
目标：对半径积分（换元法）
计算 $\int_0^1 r e^{-r^2} dr$。令 $u = r^2$，则 $du = 2r\,dr$，即 $r\,dr = \frac{1}{2} du$。当 $r=0$ 时 $u=0$；当 $r=1$ 时 $u=1$。于是：
$$\int_0^1 r e^{-r^2} dr = \int_0^1 e^{-u} \cdot \frac{1}{2} du = \frac{1}{2} \left[ -e^{-u} \right]_0^1 = \frac{1}{2} (1 - e^{-1})$$
公式：\int_0^1 r e^{-r^2} dr = \frac{1}{2}(1 - e^{-1})
提示：换元时注意积分限的对应，以及 $r\,dr$ 与 $du$ 的系数关系。
步骤 6/6
目标：合并结果得到最终答案
将角度积分和半径积分的结果相乘：
$$2\pi \cdot \frac{1}{2}(1 - e^{-1}) = \pi (1 - e^{-1})$$
公式：\iint_D e^{-(x^2+y^2)} dx\,dy = \pi(1 - e^{-1})
提示：最终结果化简为 $\pi(1 - e^{-1})$，不要写成 $\pi(1 - 1/e)$ 以外的形式。
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