江南大学 2024年数学分析第0题
📝 题目
3．$f(x)=\left(e^{x}-1\right)\left(e^{2 x}-2\right) \cdots\left(e^{n x}-n\right)$ ，则 $f^{\prime}(0)=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：分析函数在 x=0 处的取值
函数 $f(x)=\left(e^{x}-1\right)\left(e^{2 x}-2\right) \cdots\left(e^{n x}-n\right)$ 在 $x=0$ 时，每个因子 $e^{k \cdot 0}-k = 1-k$，因此 $f(0) = (1-1)(1-2)\cdots(1-n) = 0 \cdot (-1) \cdot (-2) \cdots (1-n) = 0$。
公式：$f(0) = \prod_{k=1}^n (1-k) = 0$
提示：注意第一个因子为0，导致整个乘积为0，这是后续求导的关键。
步骤 2/5
目标：应用乘积求导法则
设 $g_k(x) = e^{k x} - k$，则 $f(x) = \prod_{k=1}^n g_k(x)$。求导得 $f'(x) = \sum_{i=1}^n g_i'(x) \prod_{j \neq i} g_j(x)$。在 $x=0$ 处，由于 $g_1(0)=0$，而 $g_j(0) \neq 0$（$j \ge 2$），因此只有 $i=1$ 的项可能非零，其余项均包含因子 $g_1(0)=0$ 而为零。
公式：$f'(x) = \sum_{i=1}^n g_i'(x) \prod_{j \neq i} g_j(x)$
提示：多个因子乘积求导时，每一项都缺一个因子，注意哪个因子在0处为零。
步骤 3/5
目标：计算唯一非零项的值
当 $i=1$ 时，$g_1(x)=e^x-1$，$g_1'(x)=e^x$，故 $g_1'(0)=1$。其余因子 $g_j(0)=1-j$（$j=2,3,\dots,n$），因此 $f'(0) = 1 \cdot \prod_{j=2}^n (1-j) = \prod_{j=2}^n (1-j)$。
公式：$f'(0) = g_1'(0) \cdot \prod_{j=2}^n g_j(0) = 1 \cdot \prod_{j=2}^n (1-j)$
提示：注意 $g_1'(0)=1$ 容易算错，$e^x$ 的导数还是 $e^x$。
步骤 4/5
目标：化简乘积表达式
计算 $\prod_{j=2}^n (1-j) = \prod_{j=2}^n (-(j-1)) = (-1)^{n-1} \prod_{j=2}^n (j-1)$。而 $\prod_{j=2}^n (j-1) = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdots (n-1) = (n-1)!$，因此 $f'(0) = (-1)^{n-1} (n-1)!$。
公式：$\prod_{j=2}^n (1-j) = (-1)^{n-1} (n-1)!$
提示：注意指数 $n-1$ 是因为从 $j=2$ 到 $n$ 共有 $n-1$ 个因子，每个因子提出一个负号。
步骤 5/5
目标：得出最终答案
综合以上步骤，$f'(0) = (-1)^{n-1} (n-1)!$。
公式：$f'(0) = (-1)^{n-1} (n-1)!$
提示：答案与 $n$ 的奇偶性有关，注意符号。
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