江南大学 2024年数学分析第0题
📝 题目
5． $\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos x}{\cos x+2 \sin x} d x=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：引入辅助积分，建立第一个关系式
设 $I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos x}{\cos x + 2\sin x} \, dx$，并引入辅助积分 $J = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x}{\cos x + 2\sin x} \, dx$。计算 $I + 2J$：
$$ I + 2J = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos x + 2\sin x}{\cos x + 2\sin x} \, dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} 1 \, dx = \frac{\pi}{2} $$
公式：I + 2J = \frac{\pi}{2}
提示：注意分母相同，直接相加即可消去分母。
步骤 2/4
目标：利用变量替换得到对称关系
令 $x = \frac{\pi}{2} - t$，则 $dx = -dt$，积分限交换后得：
$$ I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin t}{\sin t + 2\cos t} \, dt $$
再令 $t = \frac{\pi}{2} - u$，可得该积分等于 $I$，因此有：
$$ I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x}{\sin x + 2\cos x} \, dx $$
公式：I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x}{\sin x + 2\cos x} \, dx
提示：两次变量替换后得到对称形式，但注意分母系数不同，不能直接与J合并。
步骤 3/4
目标：用待定系数法拆分被积函数
设 $\frac{\cos x}{\cos x + 2\sin x} = \alpha + \beta \cdot \frac{-\sin x + 2\cos x}{\cos x + 2\sin x}$，右边通分后比较分子：
$$ \alpha(\cos x + 2\sin x) + \beta(-\sin x + 2\cos x) = \cos x $$
合并同类项得方程组：
$$ \begin{cases} \alpha + 2\beta = 1 \\ 2\alpha - \beta = 0 \end{cases} $$
解得 $\alpha = \frac{1}{5}$，$\beta = \frac{2}{5}$。
公式：\frac{\cos x}{\cos x + 2\sin x} = \frac{1}{5} + \frac{2}{5} \cdot \frac{-\sin x + 2\cos x}{\cos x + 2\sin x}
提示：分母的导数为 $-\sin x + 2\cos x$，这是拆分的关键。
步骤 4/4
目标：积分并得出结果
将拆分结果代入积分：
$$ I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \left[ \frac{1}{5} + \frac{2}{5} \cdot \frac{-\sin x + 2\cos x}{\cos x + 2\sin x} \right] dx $$
第一项：$\frac{1}{5} \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{10}$。
第二项：注意到 $\frac{d}{dx}(\cos x + 2\sin x) = -\sin x + 2\cos x$，所以
$$ \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{-\sin x + 2\cos x}{\cos x + 2\sin x} \, dx = \left[ \ln|\cos x + 2\sin x| \right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} = \ln 2 - \ln 1 = \ln 2 $$
因此第二项贡献为 $\frac{2}{5} \ln 2$。
最终 $I = \frac{\pi}{10} + \frac{2}{5} \ln 2$。
公式：\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos x}{\cos x + 2\sin x} \, dx = \frac{\pi}{10} + \frac{2}{5}\ln 2
提示：注意对数真数在区间内恒正，可省略绝对值。
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