江南大学 2024年数学分析第0题
📝 题目
1．求二元函数 $f(x, y)=x^{2}\left(2+y^{2}\right)+y \ln y$ 的极值．
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：确定函数的定义域
函数 $f(x, y)=x^{2}\left(2+y^{2}\right)+y \ln y$ 中包含项 $y \ln y$，由于对数函数的自变量必须大于零，因此定义域为 $y > 0$。
公式：定义域：$\{(x, y) \mid y > 0\}$
提示：注意 $y \ln y$ 在 $y=0$ 处无定义，因此 $y$ 不能取 $0$ 或负数。
步骤 2/7
目标：求一阶偏导数
对 $x$ 求偏导：$\frac{\partial f}{\partial x} = 2x(2+y^2)$。
对 $y$ 求偏导：$\frac{\partial f}{\partial y} = 2x^2 y + \ln y + 1$，其中 $y \ln y$ 的导数为 $\ln y + 1$。
公式：$\frac{\partial f}{\partial x} = 2x(2+y^2)$，$\frac{\partial f}{\partial y} = 2x^2 y + \ln y + 1$
提示：求 $\frac{\partial f}{\partial y}$ 时，$x^2(2+y^2)$ 对 $y$ 的导数为 $2x^2 y$，不要遗漏。
步骤 3/7
目标：令一阶偏导数为零，求驻点
由 $\frac{\partial f}{\partial x}=0$ 得 $2x(2+y^2)=0$。由于 $2+y^2>0$ 恒成立，解得 $x=0$。
代入 $\frac{\partial f}{\partial y}=0$：$2\cdot 0^2 \cdot y + \ln y + 1 = 0$，即 $\ln y = -1$，解得 $y = e^{-1}$。
因此唯一驻点为 $(0, e^{-1})$。
公式：$x=0$，$y=e^{-1}$
提示：注意 $2+y^2$ 不可能为零，所以 $x$ 必须为零。
步骤 4/7
目标：求二阶偏导数
计算二阶偏导：
$f_{xx} = \frac{\partial}{\partial x}(2x(2+y^2)) = 2(2+y^2)$
$f_{yy} = \frac{\partial}{\partial y}(2x^2 y + \ln y + 1) = 2x^2 + \frac{1}{y}$
$f_{xy} = \frac{\partial}{\partial y}(2x(2+y^2)) = 4xy$
公式：$f_{xx}=2(2+y^2)$，$f_{yy}=2x^2+\frac{1}{y}$，$f_{xy}=4xy$
提示：混合偏导 $f_{xy}$ 也可由 $f_{yx}$ 验证，结果应一致。
步骤 5/7
目标：在驻点处计算二阶偏导的值及判别式
在驻点 $(0, e^{-1})$ 处：
$f_{xx} = 2(2+e^{-2}) > 0$
$f_{yy} = 2\cdot 0^2 + \frac{1}{e^{-1}} = e$
$f_{xy} = 4\cdot 0 \cdot e^{-1} = 0$
判别式 $D = f_{xx} f_{yy} - (f_{xy})^2 = 2(2+e^{-2}) \cdot e - 0 > 0$。
公式：$D = f_{xx}f_{yy} - (f_{xy})^2 = 2(2+e^{-2})e > 0$
提示：由于 $f_{xx}>0$ 且 $D>0$，该点为极小值点。
步骤 6/7
目标：计算极小值
将驻点 $(0, e^{-1})$ 代入原函数：
$f(0, e^{-1}) = 0^2 \cdot (2+e^{-2}) + e^{-1} \ln(e^{-1}) = 0 + e^{-1} \cdot (-1) = -\frac{1}{e}$。
公式：$f(0, e^{-1}) = -\frac{1}{e}$
提示：注意 $\ln(e^{-1}) = -1$，计算时不要出错。
步骤 7/7
目标：总结极值结论
函数有唯一极小值点 $(0, e^{-1})$，极小值为 $-\frac{1}{e}$，无极大值。
公式：极小值：$-\dfrac{1}{e}$
提示：由于定义域为 $y>0$，且驻点唯一，无需考虑边界极值。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。