江南大学 2024年数学分析第0题
📝 题目
2．$y=\arctan x$ ，求 $y^{(n)}(0)$ 的值．
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：写出函数及其一阶导数
已知函数 $y = \arctan x$，对其求导得到一阶导数：$y' = \frac{1}{1+x^2}$。我们要求的是 $x=0$ 处的 $n$ 阶导数值，因此考虑将 $y'$ 展开为幂级数，通过级数系数与导数的关系求解。
公式：$y' = \frac{1}{1+x^2}$
提示：注意：反正切函数的导数形式简单，适合用幂级数展开处理。
步骤 2/6
目标：将导数写成幂级数形式
利用几何级数公式 $\frac{1}{1+t} = \sum_{k=0}^\infty (-1)^k t^k$（$|t|<1$），令 $t = x^2$，得到：$y' = \frac{1}{1+x^2} = \sum_{k=0}^\infty (-1)^k x^{2k}$。该级数在 $|x|<1$ 时成立，而我们只关心 $x=0$ 处的导数，因此可以放心使用。
公式：$\frac{1}{1+x^2} = \sum_{k=0}^\infty (-1)^k x^{2k}$
提示：注意几何级数的收敛条件，这里 $|x|<1$ 足够用于求 $x=0$ 处的导数。
步骤 3/6
目标：由级数反推原函数的麦克劳林级数
对 $y'$ 的级数从 $0$ 到 $x$ 逐项积分，得到：$y = \arctan x = \int_0^x \sum_{k=0}^\infty (-1)^k t^{2k} \, dt = \sum_{k=0}^\infty (-1)^k \frac{x^{2k+1}}{2k+1}$。这就是 $\arctan x$ 在 $x=0$ 附近的麦克劳林级数。
公式：$\arctan x = \sum_{k=0}^\infty (-1)^k \frac{x^{2k+1}}{2k+1}$
提示：逐项积分时注意积分上下限，常数项由 $\arctan 0 = 0$ 确定。
步骤 4/6
目标：利用麦克劳林系数与导数的关系建立方程
麦克劳林级数的一般形式为 $f(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}(0)}{n!} x^n$。对比 $\arctan x$ 的级数 $\sum_{k=0}^\infty (-1)^k \frac{x^{2k+1}}{2k+1}$，可知只有当指数 $n$ 为奇数时才有非零项。设 $n = 2k+1$（奇数），则对应系数满足：$\frac{f^{(n)}(0)}{n!} = \frac{(-1)^k}{2k+1}$。
公式：$\frac{f^{(n)}(0)}{n!} = \frac{(-1)^k}{2k+1}$，其中 $n=2k+1$
提示：注意：偶数次幂的系数为0，因此偶数阶导数为0。
步骤 5/6
目标：推导n阶导数的表达式
由 $\frac{f^{(n)}(0)}{n!} = \frac{(-1)^k}{2k+1}$ 得 $f^{(n)}(0) = n! \cdot \frac{(-1)^k}{2k+1}$。代入 $n = 2k+1$，化简：$f^{(n)}(0) = (2k+1)! \cdot \frac{(-1)^k}{2k+1} = (2k)! \cdot (-1)^k$。用 $n$ 表示 $k = \frac{n-1}{2}$，得到 $f^{(n)}(0) = (-1)^{\frac{n-1}{2}} (n-1)!$。
公式：$y^{(n)}(0) = (-1)^{\frac{n-1}{2}} (n-1)!$，$n$ 为奇数
提示：化简时注意阶乘的约分：$(2k+1)!/(2k+1) = (2k)!$。
步骤 6/6
目标：总结最终答案
综合以上，$y = \arctan x$ 在 $x=0$ 处的 $n$ 阶导数值为：当 $n$ 为偶数时，导数为0；当 $n$ 为奇数时，导数为 $(-1)^{\frac{n-1}{2}} (n-1)!$。
公式：$y^{(n)}(0) = \begin{cases} 0, & n \text{为偶数} \\ (-1)^{\frac{n-1}{2}} (n-1)!, & n \text{为奇数} \end{cases}$
提示：注意：结果中 $(n-1)!$ 是阶乘，不要与 $n!$ 混淆。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。