江南大学 2024年数学分析第0题
📝 题目
3．求 $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n} \frac{n^{2}-n+1}{2^{n}}$ 的和．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：拆分级数为三个简单级数之和
将通项 $(-1)^n \frac{n^2 - n + 1}{2^n}$ 拆分为三个部分：
$$\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{n^2}{2^n} - \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{n}{2^n} + \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{1}{2^n}.$$
注意到 $(-1)^n / 2^n = \left(-\frac12\right)^n$，令 $r = -\frac12$，则原级数化为：
$$S = \sum_{n=0}^{\infty} n^2 r^n - \sum_{n=0}^{\infty} n r^n + \sum_{n=0}^{\infty} r^n.$$
公式：$r = -\frac12$
提示：注意 $(-1)^n$ 与 $2^n$ 合并为 $(-\frac12)^n$，不要遗漏负号。
步骤 2/6
目标：回忆并列出常用求和公式
当 $|r| < 1$ 时，有：
$$\sum_{n=0}^{\infty} r^n = \frac{1}{1-r},$$
$$\sum_{n=0}^{\infty} n r^n = \frac{r}{(1-r)^2},$$
$$\sum_{n=0}^{\infty} n^2 r^n = \frac{r(1+r)}{(1-r)^3}.$$
这些公式可由几何级数逐项求导得到。
公式：$\sum n^2 r^n = \frac{r(1+r)}{(1-r)^3}$
提示：注意 $n$ 从 $0$ 开始，$n=0$ 项为 $0$，不影响求和结果。
步骤 3/6
目标：计算 $\sum r^n$ 的值
代入 $r = -\frac12$：
$$1 - r = 1 - \left(-\frac12\right) = \frac32,$$
所以
$$\sum_{n=0}^{\infty} r^n = \frac{1}{1-r} = \frac{1}{\frac32} = \frac{2}{3}.$$
公式：$\frac{1}{1-r} = \frac{2}{3}$
提示：计算 $1-r$ 时注意 $r$ 为负数，避免符号错误。
步骤 4/6
目标：计算 $\sum n r^n$ 的值
先计算 $(1-r)^2 = \left(\frac32\right)^2 = \frac94$，则
$$\sum_{n=0}^{\infty} n r^n = \frac{r}{(1-r)^2} = \frac{-\frac12}{\frac94} = -\frac12 \cdot \frac{4}{9} = -\frac{2}{9}.$$
公式：$\frac{r}{(1-r)^2} = -\frac{2}{9}$
提示：注意 $r$ 为负，结果也为负。
步骤 5/6
目标：计算 $\sum n^2 r^n$ 的值
先计算 $1+r = 1 - \frac12 = \frac12$，$(1-r)^3 = \left(\frac32\right)^3 = \frac{27}{8}$，则
$$\sum_{n=0}^{\infty} n^2 r^n = \frac{r(1+r)}{(1-r)^3} = \frac{-\frac12 \cdot \frac12}{\frac{27}{8}} = \frac{-\frac14}{\frac{27}{8}} = -\frac14 \cdot \frac{8}{27} = -\frac{2}{27}.$$
公式：$\frac{r(1+r)}{(1-r)^3} = -\frac{2}{27}$
提示：注意分子 $r(1+r)$ 是两负数相乘？这里 $r=-\frac12$，$1+r=\frac12$，乘积为负。
步骤 6/6
目标：组合各部分得到最终和
将三个结果代入 $S$：
$$S = \left(-\frac{2}{27}\right) - \left(-\frac{2}{9}\right) + \frac{2}{3}.$$
先处理减负号：
$$-\frac{2}{27} + \frac{2}{9} + \frac{2}{3}.$$
通分分母为 $27$：
$$-\frac{2}{27} + \frac{6}{27} + \frac{18}{27} = \frac{4}{27} + \frac{18}{27} = \frac{22}{27}.$$
公式：$S = \frac{22}{27}$
提示：注意中间是减 $\sum n r^n$，而该和为负，所以减负得正，不要遗漏符号变化。
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