江南大学 2024年数学分析第0题

将曲线积分写成 $\int_L P\,dx + Q\,dy$ 的形式，其中 $P(x,y) = \sin 2x$，$Q(x,y) = 2(x^2 - 1)y$。计算偏导数：$\frac{\partial P}{\partial y} = 0$，$\frac{\partial Q}{\partial x} = 4xy$。由于 $\frac{\partial P}{\partial y} \neq \frac{\partial Q}{\partial x}$，该向量场不是保守场，不能使用与路径无关的方法，需要直接沿曲线积分。

曲线 $L$ 为 $y = \sin x$ 从 $(0,0)$ 到 $(\pi,0)$ 的一段。取 $x$ 为参数，令 $x = t$，$y = \sin t$，$t$ 从 $0$ 到 $\pi$。则 $dx = dt$，$dy = \cos t\,dt$。

将参数化代入积分：$\int_0^\pi [\sin(2t)\,dt + 2(t^2 - 1)(\sin t)(\cos t\,dt)]$。利用 $\sin t \cos t = \frac{1}{2}\sin 2t$，第二项化为 $2(t^2 - 1) \cdot \frac{1}{2}\sin 2t\,dt = (t^2 - 1)\sin 2t\,dt$。因此被积函数为 $[\sin 2t + (t^2 - 1)\sin 2t]\,dt = t^2 \sin 2t\,dt$。

令 $u = t^2$，$dv = \sin 2t\,dt$，则 $du = 2t\,dt$，$v = -\frac{1}{2}\cos 2t$。由分部积分公式 $\int u\,dv = uv - \int v\,du$ 得： \[ \int_0^\pi t^2 \sin 2t\,dt = \left[-\frac{t^2}{2}\cos 2t\right]_0^\pi - \int_0^\pi \left(-\frac{1}{2}\cos 2t\right)(2t)\,dt = \left[-\frac{t^2}{2}\cos 2t\right]_0^\pi + \int_0^\pi t\cos 2t\,dt. \] 计算边界项：在 $t=\pi$ 处，$-\frac{\pi^2}{2}\cos(2\pi) = -\frac{\pi^2}{2}$；在 $t=0$ 处，$0$。所以边界项为 $-\frac{\pi^2}{2}$。

令 $u = t$，$dv = \cos 2t\,dt$，则 $du = dt$，$v = \frac{1}{2}\sin 2t$。于是 \[ \int t\cos 2t\,dt = \frac{t}{2}\sin 2t - \int \frac{1}{2}\sin 2t\,dt = \frac{t}{2}\sin 2t + \frac{1}{4}\cos 2t. \] 代入上下限：在 $t=\pi$ 处，$\frac{\pi}{2}\sin 2\pi + \frac{1}{4}\cos 2\pi = 0 + \frac{1}{4}$；在 $t=0$ 处，$0 + \frac{1}{4}\cos 0 = \frac{1}{4}$。因此定积分值为 $\frac{1}{4} - \frac{1}{4} = 0$。

原积分等于边界项加上第二次积分结果：$-\frac{\pi^2}{2} + 0 = -\frac{\pi^2}{2}$。因此曲线积分的值为 $-\frac{\pi^2}{2}$。