江南大学 2024年数学分析第0题
📝 题目
5．求三重积分 $\iiint(x+z) d x d y d z$ ，其中 $V$ 为锥面 $z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ 与上半球面
$z=\sqrt{1-x^{2}-y^{2}}$ 所围的区域．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：分析积分区域并利用对称性简化被积函数
积分区域 $V$ 由锥面 $z = \sqrt{x^2 + y^2}$ 和上半球面 $z = \sqrt{1 - x^2 - y^2}$ 围成。两曲面交线满足 $\sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{1 - x^2 - y^2}$，解得 $x^2 + y^2 = \frac{1}{2}$，交线高度 $z = \frac{\sqrt{2}}{2}$。区域关于 $y$ 轴对称，且 $x$ 是奇函数，故 $\iiint_V x \, dV = 0$。因此原积分化为 $\iiint_V z \, dV$。
公式：$\iiint_V (x+z) \, dV = \iiint_V z \, dV$
提示：注意利用对称性简化计算，若被积函数含奇函数且区域对称，则该项积分为零。
步骤 2/6
目标：选择柱坐标系并确定积分区域
采用柱坐标：$x = r\cos\theta$，$y = r\sin\theta$，$z = z$，体积元 $dV = r \, dr \, d\theta \, dz$。区域投影为 $x^2 + y^2 \le \frac{1}{2}$，故 $r$ 从 $0$ 到 $\frac{\sqrt{2}}{2}$；$\theta$ 从 $0$ 到 $2\pi$；对固定 $r$，$z$ 从锥面 $z = r$ 到球面 $z = \sqrt{1 - r^2}$。
公式：$\iiint_V z \, dV = \int_{\theta=0}^{2\pi} \int_{r=0}^{\sqrt{2}/2} \int_{z=r}^{\sqrt{1-r^2}} z \cdot r \, dz \, dr \, d\theta$
提示：柱坐标下 $z$ 的上下限需根据几何关系正确写出，注意锥面方程 $z = r$。
步骤 3/6
目标：计算内层对 $z$ 的积分
先对 $z$ 积分：$\int_{z=r}^{\sqrt{1-r^2}} z \, dz = \frac{1}{2} \left[ (\sqrt{1-r^2})^2 - r^2 \right] = \frac{1}{2} (1 - 2r^2)$。
公式：$\int_{z=r}^{\sqrt{1-r^2}} z \, dz = \frac{1}{2}(1 - 2r^2)$
提示：计算时注意平方项的正确展开，避免符号错误。
步骤 4/6
目标：简化积分并计算对 $\theta$ 的积分
代入后积分变为 $\int_{0}^{2\pi} d\theta \int_{0}^{\sqrt{2}/2} r \cdot \frac{1}{2}(1 - 2r^2) \, dr = 2\pi \cdot \frac{1}{2} \int_{0}^{\sqrt{2}/2} (r - 2r^3) \, dr = \pi \int_{0}^{\sqrt{2}/2} (r - 2r^3) \, dr$。
公式：$\iiint_V z \, dV = \pi \int_{0}^{\sqrt{2}/2} (r - 2r^3) \, dr$
提示：对 $\theta$ 积分直接得 $2\pi$，注意系数不要遗漏。
步骤 5/6
目标：计算对 $r$ 的定积分
计算 $\int_{0}^{\sqrt{2}/2} (r - 2r^3) \, dr = \left[ \frac{1}{2}r^2 - \frac{1}{2}r^4 \right]_{0}^{\sqrt{2}/2}$。代入上限 $r = \frac{\sqrt{2}}{2}$ 得 $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{4} - \frac{1}{8} = \frac{1}{8}$。
公式：$\int_{0}^{\sqrt{2}/2} (r - 2r^3) \, dr = \frac{1}{8}$
提示：计算幂函数积分时注意系数，代入上限后仔细做减法。
步骤 6/6
目标：得出最终结果
因此 $\iiint_V z \, dV = \pi \cdot \frac{1}{8} = \frac{\pi}{8}$，加上 $x$ 部分积分为零，原积分 $\iiint_V (x+z) \, dV = \frac{\pi}{8}$。
公式：$\iiint_V (x+z) \, dV = \frac{\pi}{8}$
提示：最终结果需明确写出，并注意检查对称性是否应用正确。
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