江南大学 2024年数学分析第0题
📝 题目
2．若 $\int_{1}^{+\infty} f(x) d x$ 收敛，且 $f(x) \geq 0$ ，则 $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=0$
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：明确题目要判断的结论
题目给出条件：$\int_{1}^{+\infty} f(x) dx$ 收敛，且 $f(x) \geq 0$。要判断是否必有 $\lim_{x \to +\infty} f(x) = 0$。
提示：注意：这是判断命题真伪，不是直接证明，需要先思考是否可能构造反例。
步骤 2/7
目标：回忆反常积分收敛的定义及性质
对于非负函数 $f(x) \geq 0$，反常积分 $\int_{1}^{+\infty} f(x) dx$ 收敛意味着极限 $\lim_{b \to +\infty} \int_{1}^{b} f(x) dx$ 存在且有限。由于被积函数非负，积分值关于 $b$ 单调递增且有上界。
公式：$\lim_{b \to +\infty} \int_{1}^{b} f(x) dx = L < +\infty$
提示：非负函数的反常积分收敛等价于积分上限函数有界。
步骤 3/7
目标：分析极限为零的必要性是否成立
直觉上，如果 $f(x)$ 在无穷远处不趋于 $0$，比如存在某个 $\varepsilon > 0$ 和趋于无穷的点列 $x_n$ 使得 $f(x_n) \geq \varepsilon$，那么积分可能发散。但要注意：如果 $f(x)$ 只在很窄的区间上取较大的值，而其他位置几乎为 $0$，则总面积仍可能有限，从而极限可能不存在或不等于 $0$。
提示：不能仅凭直觉下结论，需要严格构造反例。
步骤 4/7
目标：构造反例函数
考虑函数 $f(x)$ 定义如下：对于每个正整数 $n \geq 1$，在区间 $[n, n + 2^{-n}]$ 上令 $f(x) = 1$，在其他地方令 $f(x) = 0$。即：
$$f(x) = \begin{cases} 1, & \text{若存在整数 } n \geq 1 \text{ 使得 } x \in [n, n+2^{-n}], \\ 0, & \text{其他}. \end{cases}$$
公式：$f(x) = \begin{cases} 1, & x \in [n, n+2^{-n}], \ n \in \mathbb{N}^+ \\ 0, & \text{otherwise} \end{cases}$
提示：每个峰的高度为1，宽度为 $2^{-n}$，面积是 $1 \cdot 2^{-n} = 2^{-n}$。
步骤 5/7
目标：验证该反例满足条件
首先，$f(x) \geq 0$ 显然成立。其次，计算积分：
$$\int_{1}^{+\infty} f(x) dx = \sum_{n=1}^{\infty} \int_{n}^{n+2^{-n}} 1 \, dx = \sum_{n=1}^{\infty} 2^{-n} = 1 < +\infty,$$
因此反常积分收敛。
公式：$\int_{1}^{+\infty} f(x) dx = \sum_{n=1}^{\infty} 2^{-n} = 1$
提示：注意积分区间互不相交，可以直接求和。
步骤 6/7
目标：验证该反例不满足结论
当 $x$ 取 $x_n = n$（或 $[n, n+2^{-n}]$ 内任意一点）时，$f(x_n) = 1$。由于 $n \to +\infty$ 时 $x_n \to +\infty$，因此存在趋于无穷的点列使得函数值恒为 $1$，故 $\lim_{x \to +\infty} f(x)$ 不存在（更谈不上等于 $0$）。
提示：极限存在的必要条件是所有子列极限相等，这里存在子列极限为1，而其他点（如非峰处）极限为0，故极限不存在。
步骤 7/7
目标：得出结论
原命题“若 $\int_{1}^{+\infty} f(x) dx$ 收敛且 $f(x) \geq 0$，则 $\lim_{x \to +\infty} f(x) = 0$”是错误的。反例表明，即使积分收敛，函数在无穷远处也可以不趋于 $0$。
提示：该反例说明：非负函数反常积分收敛不能推出被积函数趋于0，但可以推出其“平均”趋于0（即积分尾部的面积趋于0）。
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