江南大学 2024年数学分析第0题
📝 题目
3．若 $f(x)$ 在 $(0,1)$ 上一致连续，则 $f(x)$ 在 $(0,1)$ 有界
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：回忆一致连续的定义
函数 $f$ 在区间 $(0,1)$ 上一致连续，即：对任意 $\varepsilon > 0$，存在 $\delta > 0$，使得对任意 $x_1, x_2 \in (0,1)$，只要 $|x_1 - x_2| < \delta$，就有 $|f(x_1) - f(x_2)| < \varepsilon$。我们需证明存在常数 $M$，使得对所有 $x \in (0,1)$，有 $|f(x)| \le M$。
公式：\forall \varepsilon>0, \exists \delta>0, \forall x_1,x_2\in(0,1): |x_1-x_2|<\delta \Rightarrow |f(x_1)-f(x_2)|<\varepsilon
提示：注意一致连续与连续的区别：一致连续的 $\delta$ 只依赖于 $\varepsilon$，不依赖于 $x$。
步骤 2/6
目标：取定 $\varepsilon=1$ 并得到相应的 $\delta$
由一致连续性，取 $\varepsilon = 1$，则存在 $\delta > 0$，使得当 $|x-y| < \delta$ 时，有 $|f(x)-f(y)| < 1$。这个 $\delta$ 是固定的，后续将用它来覆盖区间。
公式：\exists \delta>0, \forall x,y\in(0,1): |x-y|<\delta \Rightarrow |f(x)-f(y)|<1
提示：取 $\varepsilon=1$ 是常用技巧，目的是将函数值的差控制在常数范围内。
步骤 3/6
目标：构造有限个点覆盖区间 $(0,1)$
由于区间 $(0,1)$ 长度有限，我们可以选取有限个点 $a_1, a_2, \dots, a_m \in (0,1)$，使得任意 $x \in (0,1)$ 都与某个 $a_i$ 的距离小于 $\delta$。例如，取正整数 $N$ 满足 $N\delta > 1$，令 $a_k = k\delta$（$k=1,2,\dots,N-1$），则这些点将区间分成若干长度为 $\delta$ 的小段，每个点 $x$ 必落在某个小区间内，从而与最近的端点距离小于 $\delta$。
公式：\forall x\in(0,1), \exists i \in \{1,\dots,m\}: |x-a_i|<\delta
提示：注意分点可能超出 $(0,1)$，只需取落在区间内的点即可，有限性由区间长度有限保证。
步骤 4/6
目标：在每个邻域内控制函数值
对每个分点 $a_i$，考虑其邻域 $U_i = \{ x \in (0,1) : |x-a_i| < \delta \}$。由一致连续性，对任意 $x \in U_i$，有 $|f(x)-f(a_i)| < 1$，从而 $|f(x)| < |f(a_i)| + 1$。
公式：|f(x)| < |f(a_i)| + 1, \quad \forall x \in U_i
提示：这里用到了三角不等式：$|f(x)| \le |f(x)-f(a_i)| + |f(a_i)|$。
步骤 5/6
目标：取最大值得到全局上界
由于有限个邻域 $U_i$ 覆盖了整个 $(0,1)$，对任意 $x \in (0,1)$，存在某个 $i$ 使得 $x \in U_i$，于是 $|f(x)| < |f(a_i)| + 1$。令 $M = \max\limits_{i=1,\dots,m} (|f(a_i)| + 1)$，则对所有 $x \in (0,1)$，有 $|f(x)| \le M$。
公式：M = \max_{i} (|f(a_i)|+1), \quad \forall x\in(0,1): |f(x)| \le M
提示：最大值存在是因为只有有限个 $a_i$，每个 $|f(a_i)|$ 是有限实数。
步骤 6/6
目标：得出结论
因此，$f(x)$ 在 $(0,1)$ 上有界。这就证明了：若 $f(x)$ 在 $(0,1)$ 上一致连续，则 $f(x)$ 在 $(0,1)$ 上有界。
提示：注意开区间 $(0,1)$ 上的连续函数不一定有界（例如 $f(x)=1/x$），但一致连续可以保证有界，因为一致连续能控制函数在端点附近的震荡。
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