江南大学 2024年数学分析第0题
📝 题目
4．若 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收敛，$\left\{b_{n}\right\}$ 满足 $\lim _{n \rightarrow \infty} b_{n}=1$ ，则 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n} b_{n}$ 收敛
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：分析题目条件与结论
已知级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 收敛，数列 $\{b_n\}$ 满足 $\lim_{n \to \infty} b_n = 1$，问是否一定有 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n b_n$ 收敛。直觉上，当 $n$ 很大时 $b_n$ 接近 1，$a_n b_n$ 与 $a_n$ 行为相似，但收敛性对尾部变化敏感，尤其当 $\sum a_n$ 条件收敛时，需要谨慎。
公式：\sum_{n=1}^{\infty} a_n \text{ 收敛}, \quad \lim_{n \to \infty} b_n = 1
提示：注意条件收敛级数对乘子变化敏感，不能直接由极限为1推出乘积级数收敛。
步骤 2/5
目标：构造反例的思路
要否定结论，需构造一个收敛的 $\sum a_n$ 和一个趋于1的 $\{b_n\}$，使得 $\sum a_n b_n$ 发散。通常取条件收敛的交错级数，并让 $b_n$ 在1附近振荡，使得 $a_n b_n$ 中产生一个发散的部分（如调和级数）。
公式：a_n = \frac{(-1)^{n-1}}{\sqrt{n}}, \quad b_n = 1 + \frac{(-1)^{n-1}}{\sqrt{n}}
提示：构造时需确保 $b_n \to 1$，且 $a_n b_n$ 能拆分为收敛部分与发散部分。
步骤 3/5
目标：验证反例的条件
取 $a_n = \frac{(-1)^{n-1}}{\sqrt{n}}$，由莱布尼茨判别法，$\frac{1}{\sqrt{n}}$ 单调递减趋于0，故 $\sum a_n$ 收敛。取 $b_n = 1 + \frac{(-1)^{n-1}}{\sqrt{n}}$，显然 $\lim_{n \to \infty} b_n = 1$。
公式：\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{\sqrt{n}} \text{ 收敛}, \quad \lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{(-1)^{n-1}}{\sqrt{n}}\right) = 1
提示：注意 $b_n$ 的构造必须满足极限为1，不能是振荡不收敛的数列。
步骤 4/5
目标：计算乘积级数并判断敛散性
计算 $a_n b_n = \frac{(-1)^{n-1}}{\sqrt{n}} \cdot \left(1 + \frac{(-1)^{n-1}}{\sqrt{n}}\right) = \frac{(-1)^{n-1}}{\sqrt{n}} + \frac{1}{n}$。于是 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n b_n = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{\sqrt{n}} + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}$。第一项是收敛的交错级数，第二项是发散的调和级数，因此整体发散。
公式：a_n b_n = \frac{(-1)^{n-1}}{\sqrt{n}} + \frac{1}{n}, \quad \sum \frac{1}{n} \text{ 发散}
提示：两个级数之和的敛散性：收敛+发散=发散。
步骤 5/5
目标：得出结论
由于存在反例使得 $\sum a_n$ 收敛、$\lim b_n = 1$，但 $\sum a_n b_n$ 发散，因此原命题不成立。结论：题目中的说法是错误的。
公式：\text{反例：} a_n = \frac{(-1)^{n-1}}{\sqrt{n}}, \; b_n = 1 + \frac{(-1)^{n-1}}{\sqrt{n}} \; \Rightarrow \; \sum a_n b_n \text{ 发散}
提示：注意反例中 $a_n$ 不能是绝对收敛的，否则可能成立。
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