江南大学 2024年数学分析第0题
📝 题目
5．若 $\lim _{x \rightarrow x_{0}} f(x)=1$ ，则存在 $\delta>0$ ，当 $0<\left|x-x_{0}\right|<\delta$ 时，$\displaystyle f(x)<\frac{3}{2}$
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：回顾极限的ε-δ定义
根据函数极限的定义，若 \(\lim_{x \to x_0} f(x) = 1\)，则对任意 \(\varepsilon > 0\)，存在 \(\delta > 0\)，使得当 \(0 < |x - x_0| < \delta\) 时，有 \(|f(x) - 1| < \varepsilon\)。
公式：\forall \varepsilon > 0, \exists \delta > 0, \forall x: 0 < |x - x_0| < \delta \Rightarrow |f(x) - 1| < \varepsilon
提示：注意定义中 \(\varepsilon\) 是任意正数，我们需要根据目标不等式来选取合适的 \(\varepsilon\)。
步骤 2/5
目标：确定目标不等式并选取ε
要证明存在 \(\delta > 0\) 使得当 \(0 < |x - x_0| < \delta\) 时 \(f(x) < \frac{3}{2}\)，即 \(f(x) - 1 < \frac{1}{2}\)。因此，我们取 \(\varepsilon = \frac{1}{2}\)。
公式：\varepsilon = \frac{1}{2}
提示：选取 \(\varepsilon\) 时，要确保从 \(|f(x)-1|<\varepsilon\) 能推出所需的不等式。这里 \(\frac{1}{2}\) 正好是 \(\frac{3}{2}-1\)。
步骤 3/5
目标：应用极限定义得到局部不等式
由极限定义，对于 \(\varepsilon = \frac{1}{2}\)，存在 \(\delta > 0\)，使得当 \(0 < |x - x_0| < \delta\) 时，有 \(|f(x) - 1| < \frac{1}{2}\)。
公式：\exists \delta > 0, \forall x: 0 < |x - x_0| < \delta \Rightarrow |f(x) - 1| < \frac{1}{2}
提示：这一步是直接套用定义，注意 \(\delta\) 的存在性由极限保证。
步骤 4/5
目标：由绝对值不等式推出f(x)的上界
由 \(|f(x) - 1| < \frac{1}{2}\) 可得 \(-\frac{1}{2} < f(x) - 1 < \frac{1}{2}\)。特别地，右边不等式给出 \(f(x) < 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}\)。
公式：f(x) - 1 < \frac{1}{2} \Rightarrow f(x) < \frac{3}{2}
提示：注意绝对值不等式 \(|a|
步骤 5/5
目标：总结结论
因此，存在 \(\delta > 0\)，使得当 \(0 < |x - x_0| < \delta\) 时，有 \(f(x) < \frac{3}{2}\)。命题得证。
公式：\exists \delta > 0, \forall x: 0 < |x - x_0| < \delta \Rightarrow f(x) < \frac{3}{2}
提示：结论是极限定义的一个直接推论，注意这里只要求上界，不需要下界。
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