江南大学 2024年数学分析第0题
📝 题目
4．设 $a_{n}>0, S_{n}=a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}$ ．证明：
（1）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_{n}}{S_{n}^{2}}$ 收敛；
（2）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_{n}}{\sqrt{S_{n}}}$ 收玫的充分必要条件为 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收玫。
$(\pi, 0)$ 的一段。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：证明级数 ∑ a_n / S_n^2 收敛
由于 $a_n > 0$，部分和 $S_n$ 严格递增。注意到 $S_n > S_{n-1}$，因此有放缩：
\[
\frac{a_n}{S_n^2} \le \frac{a_n}{S_{n-1}S_n}
\]
又因为 $a_n = S_n - S_{n-1}$，所以
\[
\frac{a_n}{S_{n-1}S_n} = \frac{S_n - S_{n-1}}{S_{n-1}S_n} = \frac{1}{S_{n-1}} - \frac{1}{S_n}
\]
于是
\[
\frac{a_n}{S_n^2} \le \frac{1}{S_{n-1}} - \frac{1}{S_n}
\]
公式：\frac{a_n}{S_n^2} \le \frac{1}{S_{n-1}} - \frac{1}{S_n}
提示：注意 $S_{n-1}$ 在 $n=1$ 时需定义 $S_0 = a_1$ 或 $S_0 > 0$，以保证裂项有效。
步骤 2/4
目标：对前N项求和并利用 telescoping sum
对 $n=1$ 到 $N$ 求和：
\[
\sum_{n=1}^N \frac{a_n}{S_n^2} \le \sum_{n=1}^N \left( \frac{1}{S_{n-1}} - \frac{1}{S_n} \right) = \frac{1}{S_0} - \frac{1}{S_N}
\]
由于 $S_N > 0$ 且单调递增，$\frac{1}{S_N} > 0$，因此部分和数列有上界 $\frac{1}{S_0}$。又因为 $a_n > 0$，部分和单调递增，故级数收敛。
公式：\sum_{n=1}^N \frac{a_n}{S_n^2} \le \frac{1}{S_0} - \frac{1}{S_N} < \frac{1}{S_0}
提示：这里 $S_0$ 可以取 $a_1$，但更严谨地可令 $S_0 = a_1$ 或任意正数，不影响有界性。
步骤 3/4
目标：证明必要性：若 ∑ a_n/√S_n 收敛，则 ∑ a_n 收敛
假设 $\sum a_n$ 发散，则 $S_n \to +\infty$。利用积分不等式：由于 $f(x)=1/\sqrt{x}$ 递减，有
\[
\frac{a_n}{\sqrt{S_n}} = \frac{S_n - S_{n-1}}{\sqrt{S_n}} \ge \int_{S_{n-1}}^{S_n} \frac{dx}{\sqrt{x}} = 2(\sqrt{S_n} - \sqrt{S_{n-1}})
\]
求和得
\[
\sum_{n=1}^N \frac{a_n}{\sqrt{S_n}} \ge 2(\sqrt{S_N} - \sqrt{S_0}) \to +\infty \quad (N \to \infty)
\]
这与级数收敛矛盾，故 $S_n$ 有界，即 $\sum a_n$ 收敛。
公式：\frac{a_n}{\sqrt{S_n}} \ge 2(\sqrt{S_n} - \sqrt{S_{n-1}})
提示：注意 $S_0$ 需定义为 $a_1$ 或 $0$，但积分下界取 $S_{n-1}$ 即可，不等式方向由函数递减保证。
步骤 4/4
目标：证明充分性：若 ∑ a_n 收敛，则 ∑ a_n/√S_n 收敛
若 $\sum a_n$ 收敛，则 $S_n$ 收敛到有限正数 $S$，且 $S_n \ge S_1 = a_1 > 0$。因此
\[
\frac{a_n}{\sqrt{S_n}} \le \frac{a_n}{\sqrt{a_1}}
\]
由比较判别法，$\sum a_n$ 收敛推出 $\sum \frac{a_n}{\sqrt{S_n}}$ 收敛。
公式：\frac{a_n}{\sqrt{S_n}} \le \frac{a_n}{\sqrt{a_1}}
提示：这里要求 $a_1 > 0$，否则需单独处理前有限项，不影响收敛性。
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