江南大学 2024年数学分析第0题
📝 题目
5．求三重积分 $\iiint_{1}(x+z) d x d y d z$ ，其中 $V$ 为锥面 $z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ 与上半球面 $z=\sqrt{1-x^{2}-y^{2}}$ 所围的区域．
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：分析积分区域并确定交线
锥面方程为 $z = \sqrt{x^2 + y^2}$，上半球面方程为 $z = \sqrt{1 - x^2 - y^2}$。求交线：令 $\sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{1 - x^2 - y^2}$，两边平方得 $x^2 + y^2 = 1 - x^2 - y^2$，即 $2(x^2 + y^2) = 1$，所以 $x^2 + y^2 = \frac{1}{2}$，此时 $z = \frac{1}{\sqrt{2}}$。因此区域 $V$ 在 $xy$ 平面上的投影是半径为 $\frac{1}{\sqrt{2}}$ 的圆盘，下方由锥面 $z = r$ 围成，上方由半球面 $z = \sqrt{1 - r^2}$ 围成。
公式：$x^2 + y^2 = \frac{1}{2}$，$z = \frac{1}{\sqrt{2}}$
提示：注意交线处 $r$ 和 $z$ 的值，这是确定积分上下限的关键。
步骤 2/5
目标：选择柱坐标系并写出积分表达式
由于区域具有旋转对称性，采用柱坐标：$x = r\cos\theta$，$y = r\sin\theta$，$z = z$。锥面化为 $z = r$，上半球面化为 $z = \sqrt{1 - r^2}$。$r$ 的范围：$0 \leq r \leq \frac{1}{\sqrt{2}}$；$\theta$ 的范围：$0 \leq \theta \leq 2\pi$；$z$ 的范围：$r \leq z \leq \sqrt{1 - r^2}$。被积函数 $x + z$ 化为 $r\cos\theta + z$，体积元 $dV = r\,dr\,d\theta\,dz$。积分化为：
$$\iiint_V (x+z)\,dV = \int_{\theta=0}^{2\pi} \int_{r=0}^{1/\sqrt{2}} \int_{z=r}^{\sqrt{1-r^2}} (r\cos\theta + z)\, r\, dz\, dr\, d\theta$$
公式：$\iiint_V (x+z)\,dV = \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{1/\sqrt{2}} \int_{r}^{\sqrt{1-r^2}} (r\cos\theta + z)\, r\, dz\, dr\, d\theta$
提示：柱坐标下不要忘记体积元中的 $r$ 因子。
步骤 3/5
目标：先对 $z$ 积分
将内层积分拆分为两项：
第一项：$\int_{z=r}^{\sqrt{1-r^2}} r\cos\theta \cdot r\, dz = r^2\cos\theta \cdot (\sqrt{1-r^2} - r)$。
第二项：$\int_{z=r}^{\sqrt{1-r^2}} z \cdot r\, dz = r \cdot \frac{1}{2} \left[ (\sqrt{1-r^2})^2 - r^2 \right] = \frac{r}{2}(1 - r^2 - r^2) = \frac{r}{2}(1 - 2r^2)$。
因此内层积分结果为：$r^2\cos\theta (\sqrt{1-r^2} - r) + \frac{r}{2}(1 - 2r^2)$。
公式：$\int_{z=r}^{\sqrt{1-r^2}} (r\cos\theta + z)\, r\, dz = r^2\cos\theta (\sqrt{1-r^2} - r) + \frac{r}{2}(1 - 2r^2)$
提示：对 $z$ 积分时，$r$ 和 $\theta$ 视为常数，注意积分上下限的代入。
步骤 4/5
目标：对 $\theta$ 积分并利用对称性简化
对 $\theta$ 从 $0$ 到 $2\pi$ 积分：$\int_0^{2\pi} \cos\theta\, d\theta = 0$，因此含有 $\cos\theta$ 的项积分为零。只剩下不含 $\theta$ 的第二项：
$$\int_{\theta=0}^{2\pi} \frac{r}{2}(1 - 2r^2)\, d\theta = 2\pi \cdot \frac{r}{2}(1 - 2r^2) = \pi r (1 - 2r^2)$$
公式：$\int_0^{2\pi} \cos\theta\, d\theta = 0$，积分简化为 $\pi r (1 - 2r^2)$
提示：利用三角函数的周期性可以简化计算，注意 $\cos\theta$ 在一个周期内积分为零。
步骤 5/5
目标：对 $r$ 积分并计算最终结果
现在只需计算：
$$\int_{r=0}^{1/\sqrt{2}} \pi r (1 - 2r^2)\, dr = \pi \int_0^{1/\sqrt{2}} (r - 2r^3)\, dr$$
分别计算：
$\int_0^{1/\sqrt{2}} r\, dr = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right)^2 = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$。
$\int_0^{1/\sqrt{2}} 2r^3\, dr = 2 \cdot \frac{1}{4} \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right)^4 = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{8}$。
因此 $\int_0^{1/\sqrt{2}} (r - 2r^3)\, dr = \frac{1}{4} - \frac{1}{8} = \frac{1}{8}$。
乘以 $\pi$ 得：$\pi \cdot \frac{1}{8} = \frac{\pi}{8}$。
公式：$\int_0^{1/\sqrt{2}} (r - 2r^3)\, dr = \frac{1}{8}$，最终结果为 $\frac{\pi}{8}$
提示：计算 $r^3$ 的积分时注意幂次运算：$(1/\sqrt{2})^4 = 1/4$。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。